Номер 31.2, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.2. Выполните действие:

1) $(x - 5)(5 + x);$

2) $(8 + y)(y - 8);$

3) $(10 - k)(k + 10);$

4) $(a + \frac{2}{3}b)(a - \frac{2}{3}b);$

5) $(\frac{4}{9}x - y)(y + \frac{4}{9}x);$

6) $(\frac{4}{15}n - m)(m + \frac{4}{15}n);$

7) $(9x - 5y)(9x + 5y);$

8) $(-4a + 3b)(3b + 4a);$

9) $(13k - 2d)(2d + 13k);$

10) $(\frac{5}{4}c + \frac{3}{7}d)(\frac{3}{7}d - \frac{5}{4}c);$

11) $(\frac{1}{3}x - 3y)(3y + \frac{1}{3}x);$

12) $(\frac{1}{5}a + \frac{1}{9}b)(\frac{1}{9}b - \frac{1}{5}a).$

1) Для выполнения умножения $(x - 5)(5 + x)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы: $(5 + x) = (x + 5)$. Получаем: $(x - 5)(x + 5)$. В данном случае $a = x$ и $b = 5$. Применяем формулу: $x^2 - 5^2 = x^2 - 25$. Ответ: $x^2 - 25$.

2) Раскроем скобки в выражении $(8 + y)(y - 8)$, используя формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Переставим слагаемые в первой скобке: $(8 + y) = (y + 8)$. Получаем выражение: $(y + 8)(y - 8)$. Здесь $a = y$ и $b = 8$. Подставляем в формулу: $y^2 - 8^2 = y^2 - 64$. Ответ: $y^2 - 64$.

3) Чтобы выполнить действие $(10 - k)(k + 10)$, применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Во второй скобке поменяем слагаемые местами: $(k + 10) = (10 + k)$. Получаем: $(10 - k)(10 + k)$. Здесь $a = 10$ и $b = k$. Применяем формулу: $10^2 - k^2 = 100 - k^2$. Ответ: $100 - k^2$.

4) Выражение $(a + \frac{2}{3}b)(a - \frac{2}{3}b)$ уже представлено в виде произведения суммы и разности двух выражений. Используем формулу разности квадратов $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$. В данном случае $A = a$ и $B = \frac{2}{3}b$. Подставляем в формулу: $a^2 - (\frac{2}{3}b)^2 = a^2 - \frac{4}{9}b^2$. Ответ: $a^2 - \frac{4}{9}b^2$.

5) Рассмотрим выражение $(\frac{4}{9}x - y)(y + \frac{4}{9}x)$. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Переставим слагаемые во второй скобке: $(y + \frac{4}{9}x) = (\frac{4}{9}x + y)$. Получаем: $(\frac{4}{9}x - y)(\frac{4}{9}x + y)$. Здесь $a = \frac{4}{9}x$ и $b = y$. Применяем формулу: $(\frac{4}{9}x)^2 - y^2 = \frac{16}{81}x^2 - y^2$. Ответ: $\frac{16}{81}x^2 - y^2$.

6) Для выражения $(\frac{4}{15}n - m)(m + \frac{4}{15}n)$ используем формулу разности квадратов. Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(m + \frac{4}{15}n) = (\frac{4}{15}n + m)$. Получаем: $(\frac{4}{15}n - m)(\frac{4}{15}n + m)$. Это соответствует формуле $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{4}{15}n$ и $b = m$. Результат: $(\frac{4}{15}n)^2 - m^2 = \frac{16}{225}n^2 - m^2$. Ответ: $\frac{16}{225}n^2 - m^2$.

7) Выражение $(9x - 5y)(9x + 5y)$ является классическим примером формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = 9x$ и $b = 5y$. Применяем формулу: $(9x)^2 - (5y)^2 = 81x^2 - 25y^2$. Ответ: $81x^2 - 25y^2$.

8) Рассмотрим выражение $(-4a + 3b)(3b + 4a)$. Перепишем первую скобку, поменяв слагаемые местами: $(-4a + 3b) = (3b - 4a)$. Теперь выражение имеет вид: $(3b - 4a)(3b + 4a)$. Это формула разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = 3b$ и $y = 4a$. Применяем формулу: $(3b)^2 - (4a)^2 = 9b^2 - 16a^2$. Ответ: $9b^2 - 16a^2$.

9) Для выражения $(13k - 2d)(2d + 13k)$ применим формулу разности квадратов. Переставим слагаемые во второй скобке: $(2d + 13k) = (13k + 2d)$. Получаем: $(13k - 2d)(13k + 2d)$. Используем формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 13k$ и $b = 2d$. Результат: $(13k)^2 - (2d)^2 = 169k^2 - 4d^2$. Ответ: $169k^2 - 4d^2$.

10) Рассмотрим выражение $(\frac{5}{4}c + \frac{3}{7}d)(\frac{3}{7}d - \frac{5}{4}c)$. Переставим слагаемые в первой скобке: $(\frac{5}{4}c + \frac{3}{7}d) = (\frac{3}{7}d + \frac{5}{4}c)$. Теперь выражение выглядит как $(\frac{3}{7}d + \frac{5}{4}c)(\frac{3}{7}d - \frac{5}{4}c)$. Это формула разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{3}{7}d$ и $b = \frac{5}{4}c$. Применяем формулу: $(\frac{3}{7}d)^2 - (\frac{5}{4}c)^2 = \frac{9}{49}d^2 - \frac{25}{16}c^2$. Ответ: $\frac{9}{49}d^2 - \frac{25}{16}c^2$.

11) Для выражения $(\frac{1}{3}x - 3y)(3y + \frac{1}{3}x)$ используем формулу разности квадратов. Переставим слагаемые во второй скобке: $(3y + \frac{1}{3}x) = (\frac{1}{3}x + 3y)$. Получаем: $(\frac{1}{3}x - 3y)(\frac{1}{3}x + 3y)$. Это формула $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{1}{3}x$ и $b = 3y$. Применяем формулу: $(\frac{1}{3}x)^2 - (3y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - 9y^2$. Ответ: $\frac{1}{9}x^2 - 9y^2$.

12) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{5}a + \frac{1}{9}b)(\frac{1}{9}b - \frac{1}{5}a)$. Переставим слагаемые в первой скобке: $(\frac{1}{5}a + \frac{1}{9}b) = (\frac{1}{9}b + \frac{1}{5}a)$. Теперь выражение имеет вид: $(\frac{1}{9}b + \frac{1}{5}a)(\frac{1}{9}b - \frac{1}{5}a)$. Это формула разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = \frac{1}{9}b$ и $y = \frac{1}{5}a$. Применяем формулу: $(\frac{1}{9}b)^2 - (\frac{1}{5}a)^2 = \frac{1}{81}b^2 - \frac{1}{25}a^2$. Ответ: $\frac{1}{81}b^2 - \frac{1}{25}a^2$.