Проанализируй и ответь, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как, используя формулу разности квадратов, вычислили $71^2 - 59^2$?

$71^2 - 59^2 = (71 - 59)(71 + 59) = 12 \cdot 130 = 1560.$

2. Как, используя формулу разности квадратов, упростили выражение

$(\frac{1}{3}x + 8y)(\frac{1}{3}x - 8y)$?

$(\frac{1}{3}x + 8y)(\frac{1}{3}x - 8y) = (\frac{1}{3}x)^2 - (8y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - 64y^2.$

1. Для вычисления выражения $71^2 - 59^2$ применяется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов". Эта формула выглядит так: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Она позволяет представить разность квадратов двух чисел как произведение их разности и их суммы.

В данном примере:

• первое число $a = 71$
• второе число $b = 59$

Применяя формулу, мы заменяем исходное выражение $71^2 - 59^2$ на произведение $(71 - 59)(71 + 59)$.

Далее выполняются простые арифметические действия:

1. Вычисляется разность в первой скобке: $71 - 59 = 12$.
2. Вычисляется сумма во второй скобке: $71 + 59 = 130$.
3. Полученные результаты перемножаются: $12 \cdot 130 = 1560$.

Этот метод значительно упрощает вычисления, так как не требует возведения в квадрат больших чисел.

Ответ: $71^2 - 59^2 = (71 - 59)(71 + 59) = 12 \cdot 130 = 1560$.

2. Для упрощения выражения $(\frac{1}{3}x + 8y)(\frac{1}{3}x - 8y)$ также используется формула разности квадратов, но в обратном порядке: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Исходное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений.

В этом примере:

• первое выражение $a = \frac{1}{3}x$
• второе выражение $b = 8y$

Согласно формуле, произведение этих скобок равно разности квадратов выражений $a$ и $b$.

Подставляем наши выражения в формулу $a^2 - b^2$:

$(\frac{1}{3}x)^2 - (8y)^2$.

Далее возводим в квадрат каждый член:

1. Возводим в квадрат первое выражение: $(\frac{1}{3}x)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot x^2 = \frac{1}{9}x^2$.
2. Возводим в квадрат второе выражение: $(8y)^2 = 8^2 \cdot y^2 = 64y^2$.

В итоге получаем упрощенное выражение, которое является разностью полученных квадратов.

Ответ: $(\frac{1}{3}x + 8y)(\frac{1}{3}x - 8y) = (\frac{1}{3}x)^2 - (8y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - 64y^2$.