Номер 31.8, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.8. Найдите значение выражения:

1) $(7 + d)(d-7) + (d+ 3)(3 - d) + 40(d + 1)$ при $d = 0,5$;

2) $x(2x-1)-(6 + x)(x - 6) + (x + 10)(10 - x)$ при $x = -101$;

3) $1,2(b + 1,2) + (0,5-b)(b + 0,5) - (b + 1,3)(1,3 - b)$ при $b = -\frac{5}{6}$;

4) $(1,5 + c)(c - 1,5) - (c + 8)(c - 8) - 2,5(c - 24,5)$ при $c = \frac{2}{3}$.

1) Упростим выражение $(7 + d)(d - 7) + (d + 3)(3 - d) + 40(d + 1)$. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и распределительное свойство.

Первое слагаемое $(7 + d)(d - 7)$ является произведением суммы и разности двух чисел, что равно разности их квадратов: $(d + 7)(d - 7) = d^2 - 7^2 = d^2 - 49$.

Второе слагаемое $(d + 3)(3 - d)$ можно преобразовать: $(d + 3)(3 - d) = -(d + 3)(d - 3) = -(d^2 - 3^2) = -(d^2 - 9) = 9 - d^2$.

Третье слагаемое $40(d + 1)$ раскроем, умножив 40 на каждый член в скобках: $40(d + 1) = 40d + 40$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(d^2 - 49) + (9 - d^2) + (40d + 40) = d^2 - 49 + 9 - d^2 + 40d + 40$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(d^2 - d^2) + 40d + (-49 + 9 + 40) = 0 + 40d + 0 = 40d$.

Теперь подставим значение $d = 0,5$ в упрощенное выражение:

$40d = 40 \cdot 0,5 = 20$.

Ответ: 20.

2) Упростим выражение $x(2x - 1) - (6 + x)(x - 6) + (x + 10)(10 - x)$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое: $x(2x - 1) = 2x^2 - x$.

Второе слагаемое: $-(6 + x)(x - 6) = -(x + 6)(x - 6)$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $-(x^2 - 6^2) = -(x^2 - 36) = 36 - x^2$.

Третье слагаемое: $(x + 10)(10 - x) = -(x + 10)(x - 10)$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $-(x^2 - 10^2) = -(x^2 - 100) = 100 - x^2$.

Сложим полученные выражения:

$(2x^2 - x) + (36 - x^2) + (100 - x^2) = 2x^2 - x + 36 - x^2 + 100 - x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x^2 - x^2) - x + (36 + 100) = 0 - x + 136 = 136 - x$.

Теперь подставим значение $x = -101$ в упрощенное выражение:

$136 - x = 136 - (-101) = 136 + 101 = 237$.

Ответ: 237.

3) Упростим выражение $1,2(b + 1,2) + (0,5 - b)(b + 0,5) - (b + 1,3)(1,3 - b)$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое: $1,2(b + 1,2) = 1,2b + 1,2^2 = 1,2b + 1,44$.

Второе слагаемое $(0,5 - b)(b + 0,5)$ является разностью квадратов: $(0,5 - b)(0,5 + b) = 0,5^2 - b^2 = 0,25 - b^2$.

Третье слагаемое: $-(b + 1,3)(1,3 - b) = (b + 1,3)(b - 1,3)$. Это также разность квадратов: $b^2 - 1,3^2 = b^2 - 1,69$.

Сложим полученные выражения:

$(1,2b + 1,44) + (0,25 - b^2) + (b^2 - 1,69) = 1,2b + 1,44 + 0,25 - b^2 + b^2 - 1,69$.

Приведем подобные слагаемые:

$1,2b + (-b^2 + b^2) + (1,44 + 0,25 - 1,69) = 1,2b + 0 + (1,69 - 1,69) = 1,2b$.

Теперь подставим значение $b = -\frac{5}{6}$ в упрощенное выражение. Представим $1,2$ в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

$1,2b = \frac{6}{5} \cdot (-\frac{5}{6}) = -1$.

Ответ: -1.

4) Упростим выражение $(1,5 + c)(c - 1,5) - (c + 8)(c - 8) - 2,5(c - 24,5)$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое: $(1,5 + c)(c - 1,5) = (c + 1,5)(c - 1,5) = c^2 - 1,5^2 = c^2 - 2,25$.

Второе слагаемое: $-(c + 8)(c - 8) = -(c^2 - 8^2) = -(c^2 - 64) = 64 - c^2$.

Третье слагаемое: $-2,5(c - 24,5) = -2,5c + 2,5 \cdot 24,5 = -2,5c + 61,25$.

Сложим полученные выражения:

$(c^2 - 2,25) + (64 - c^2) + (-2,5c + 61,25) = c^2 - 2,25 + 64 - c^2 - 2,5c + 61,25$.

Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 - c^2) - 2,5c + (-2,25 + 64 + 61,25) = 0 - 2,5c + (61,75 + 61,25) = -2,5c + 123$.

Теперь подставим значение $c = \frac{2}{3}$ в упрощенное выражение. Представим $2,5$ в виде дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$.

$-2,5c + 123 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} + 123 = -\frac{5}{3} + 123 = -\frac{5}{3} + \frac{123 \cdot 3}{3} = \frac{-5 + 369}{3} = \frac{364}{3}$.

Ответ: $\frac{364}{3}$.