Номер 31.11, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.11. Докажите тождество:

1) $(x - 1.6)(1.6 + x) + 5 - x^2 = 2.44;$

2) $(2 - 0.9x)(0.9x + 2) - 10 + 0.81x^2 = -6;$

3) $(x - 1.5)(1.5 + x) + (6 - x)(6 + x) = 33.75;$

4) $(2.1 - x)(x + 2.1) - (5 - x)(x + 5) = -20.59.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Выражение $(x - 1,6)(1,6 + x)$ можно записать как $(x - 1,6)(x + 1,6)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=x$ и $b=1,6$.

Применим формулу: $(x - 1,6)(x + 1,6) = x^2 - (1,6)^2 = x^2 - 2,56$.

Теперь подставим это в левую часть исходного равенства:

$(x^2 - 2,56) + 5 - x^2$

Сгруппируем и упростим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (5 - 2,56) = 0 + 2,44 = 2,44$.

В результате преобразования левая часть оказалась равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: $2,44 = 2,44$.

2) Преобразуем левую часть тождества. Выражение $(2 - 0,9x)(0,9x + 2)$ можно записать как $(2 - 0,9x)(2 + 0,9x)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=2$ и $b=0,9x$.

Применим формулу: $(2 - 0,9x)(2 + 0,9x) = 2^2 - (0,9x)^2 = 4 - 0,81x^2$.

Подставим в левую часть исходного равенства:

$(4 - 0,81x^2) - 10 + 0,81x^2$

Сгруппируем и упростим подобные члены:

$(-0,81x^2 + 0,81x^2) + (4 - 10) = 0 - 6 = -6$.

В результате преобразования левая часть оказалась равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: $-6 = -6$.

3) Преобразуем левую часть тождества. Она состоит из суммы двух выражений, к каждому из которых можно применить формулу разности квадратов.

Первое слагаемое: $(x - 1,5)(1,5 + x) = (x - 1,5)(x + 1,5) = x^2 - (1,5)^2 = x^2 - 2,25$.

Второе слагаемое: $(6 - x)(6 + x) = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$.

Сложим полученные выражения:

$(x^2 - 2,25) + (36 - x^2) = x^2 - 2,25 + 36 - x^2$

Сгруппируем и упростим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (36 - 2,25) = 0 + 33,75 = 33,75$.

В результате преобразования левая часть оказалась равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: $33,75 = 33,75$.

4) Преобразуем левую часть тождества. Она состоит из разности двух выражений, к каждому из которых можно применить формулу разности квадратов.

Уменьшаемое: $(2,1 - x)(x + 2,1) = (2,1 - x)(2,1 + x) = (2,1)^2 - x^2 = 4,41 - x^2$.

Вычитаемое: $(5 - x)(x + 5) = (5 - x)(5 + x) = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$.

Выполним вычитание:

$(4,41 - x^2) - (25 - x^2) = 4,41 - x^2 - 25 + x^2$

Сгруппируем и упростим подобные члены:

$(-x^2 + x^2) + (4,41 - 25) = 0 - 20,59 = -20,59$.

В результате преобразования левая часть оказалась равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: $-20,59 = -20,59$.