Номер 31.18, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вычислите (31.18-31.19):

31.18.

1) $\frac{20^2 - 13^2}{31^2 - 24^2}$;

2) $\frac{17^2 - 22^2}{49^2 - 10^2}$;

3) $\frac{37^2 - 47^2}{72^2 - 12^2}$;

4) $\frac{100^2 - 60^2}{70^2 - 90^2}$.

1) Для вычисления значения выражения $\frac{20^2 - 13^2}{31^2 - 24^2}$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $20^2 - 13^2 = (20 - 13)(20 + 13) = 7 \cdot 33$.

Знаменатель: $31^2 - 24^2 = (31 - 24)(31 + 24) = 7 \cdot 55$.

Теперь подставим полученные разложения обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{20^2 - 13^2}{31^2 - 24^2} = \frac{7 \cdot 33}{7 \cdot 55} = \frac{33}{55}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 11:

$\frac{33}{55} = \frac{3 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{17^2 - 22^2}{49^2 - 10^2}$. Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$17^2 - 22^2 = (17 - 22)(17 + 22) = (-5) \cdot 39$.

$49^2 - 10^2 = (49 - 10)(49 + 10) = 39 \cdot 59$.

Подставим в дробь:

$\frac{17^2 - 22^2}{49^2 - 10^2} = \frac{(-5) \cdot 39}{39 \cdot 59}$.

Сократим дробь на общий множитель 39:

$\frac{-5}{59} = -\frac{5}{59}$.

Ответ: $-\frac{5}{59}$

3) Вычислим значение выражения $\frac{37^2 - 47^2}{72^2 - 12^2}$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$37^2 - 47^2 = (37 - 47)(37 + 47) = (-10) \cdot 84$.

$72^2 - 12^2 = (72 - 12)(72 + 12) = 60 \cdot 84$.

Подставим полученные произведения в дробь:

$\frac{37^2 - 47^2}{72^2 - 12^2} = \frac{-10 \cdot 84}{60 \cdot 84}$.

Сократим общие множители 84 и 10:

$\frac{-10}{60} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$

4) Рассмотрим последнее выражение $\frac{100^2 - 60^2}{70^2 - 90^2}$. Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$100^2 - 60^2 = (100 - 60)(100 + 60) = 40 \cdot 160$.

$70^2 - 90^2 = (70 - 90)(70 + 90) = (-20) \cdot 160$.

Подставим результаты в дробь:

$\frac{100^2 - 60^2}{70^2 - 90^2} = \frac{40 \cdot 160}{-20 \cdot 160}$.

Сократим дробь на 160, а затем разделим 40 на -20:

$\frac{40}{-20} = -2$.

Ответ: $-2$