Номер 31.24, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.24. Докажите тождество:

1) $ (1 + a)(1 - a)(1 + a^2) - 5 + a^4 = -4; $

2) $ 5a^2 - 3(a + 1)(a-1) + 8a^2 + 5 = 10a^2 + 8; $

3) $ 7(a^2 + 2) - 4(a + 3)(a-3) + 3a^2 + 24 = 6a^2 + 74; $

4) $ 10(a^2 - 15) - 12(a - 4)(a + 4) + 8 - a^2 = 50 - 3a^2. $

1) Чтобы доказать тождество $(1 + a)(1 - a)(1 + a²) - 5 + a^4 = -4$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. Сначала применим ее к произведению $(1 + a)(1 - a)$: $(1 + a)(1 - a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$. Подставим полученный результат в левую часть исходного равенства: $(1 - a^2)(1 + a^2) - 5 + a^4$. Снова применим формулу разности квадратов, теперь для выражения $(1 - a^2)(1 + a^2)$: $(1 - a^2)(1 + a^2) = 1^2 - (a^2)^2 = 1 - a^4$. Подставим результат обратно: $1 - a^4 - 5 + a^4$. Теперь приведем подобные слагаемые: $(1 - 5) + (-a^4 + a^4) = -4$. В результате преобразований левая часть равенства стала равной -4, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $5a² - 3(a + 1)(a - 1) + 8a² + 5 = 10a² + 8$, преобразуем его левую часть. Используем формулу разности квадратов для выражения $(a + 1)(a - 1)$: $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$. Подставим это в левую часть тождества: $5a^2 - 3(a^2 - 1) + 8a^2 + 5$. Раскроем скобки, умножив -3 на каждый член в скобках: $5a^2 - 3a^2 + 3 + 8a^2 + 5$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(5a^2 - 3a^2 + 8a^2) + (3 + 5) = (5 - 3 + 8)a^2 + 8 = 10a^2 + 8$. Полученное выражение в точности совпадает с правой частью тождества.

Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $7(a² + 2) - 4(a + 3)(a - 3) + 3a² + 24 = 6a² + 74$, преобразуем его левую часть. Применим формулу разности квадратов к произведению $(a + 3)(a - 3)$: $(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$. Подставим это в выражение: $7(a^2 + 2) - 4(a^2 - 9) + 3a^2 + 24$. Теперь раскроем все скобки: $7a^2 + 7 \cdot 2 - 4a^2 - 4 \cdot (-9) + 3a^2 + 24 = 7a^2 + 14 - 4a^2 + 36 + 3a^2 + 24$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(7a^2 - 4a^2 + 3a^2) + (14 + 36 + 24) = (7 - 4 + 3)a^2 + (50 + 24) = 6a^2 + 74$. Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $10(a² - 15) - 12(a - 4)(a + 4) + 8 - a² = 50 - 3a²$, преобразуем его левую часть. В выражении $(a - 4)(a + 4)$ используем формулу разности квадратов: $(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$. Подставим полученное выражение в левую часть: $10(a^2 - 15) - 12(a^2 - 16) + 8 - a^2$. Раскроем скобки: $10a^2 - 10 \cdot 15 - 12a^2 - 12 \cdot (-16) + 8 - a^2 = 10a^2 - 150 - 12a^2 + 192 + 8 - a^2$. Приведем подобные члены: $(10a^2 - 12a^2 - a^2) + (-150 + 192 + 8) = (10 - 12 - 1)a^2 + (42 + 8) = -3a^2 + 50$. Поменяв слагаемые местами, получим $50 - 3a^2$. Полученное выражение идентично правой части исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.