Номер 31.22, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.22. Найдите корни уравнений:

1) $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0;$

2) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0;$

3) $(1 - 3x)^2 = (3x + 5)^2 - 96;$

4) $\left(\frac{1}{2} - 5x\right)^2 + \frac{3}{4} = (5x - 4)^2;$

5) $x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 13;$

6) $4x(x - 1) - (2x + 5)(2x - 5) = 1.$

1) Исходное уравнение: $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$.

Отсюда следует, что один из корней равен $x_1 = 0$.

Теперь решим уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки: $(x^2 - 1)(x - 3) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$.

$x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Таким образом, мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$, $x_4 = 3$.

2) Исходное уравнение: $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^5 - x^4) - (x - 1) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^4(x - 1) - 1(x - 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки: $(x^4 - 1)(x - 1) = 0$.

Разложим $x^4 - 1$ как разность квадратов: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$.

Разложим $x^2 - 1$: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$.

Сгруппируем одинаковые множители: $(x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

$x + 1 = 0 \implies x = -1$.

$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3) Исходное уравнение: $(1 - 3x)^2 = (3x + 5)^2 - 96$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 - 96$.

$1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x + 25 - 96$.

$1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x - 71$.

Члены $9x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются.

$1 - 6x = 30x - 71$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$1 + 71 = 30x + 6x$.

$72 = 36x$.

$x = \frac{72}{36}$.

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

4) Исходное уравнение: $(\frac{1}{2} - 5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x - 4)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5x + (5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 4 + 4^2$.

$\frac{1}{4} - 5x + 25x^2 + \frac{3}{4} = 25x^2 - 40x + 16$.

Сгруппируем константы в левой части: $(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) - 5x + 25x^2 = 25x^2 - 40x + 16$.

$1 - 5x + 25x^2 = 25x^2 - 40x + 16$.

Члены $25x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются.

$1 - 5x = -40x + 16$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую сторону, а константы в правую:

$40x - 5x = 16 - 1$.

$35x = 15$.

$x = \frac{15}{35}$.

Сократим дробь на 5: $x = \frac{3}{7}$.

Ответ: $x = \frac{3}{7}$.

5) Исходное уравнение: $x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 13$.

Раскроем скобки. Выражение $(x + 3)(x - 3)$ является разностью квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$x^2 + 2x - (x^2 - 3^2) = 13$.

$x^2 + 2x - (x^2 - 9) = 13$.

$x^2 + 2x - x^2 + 9 = 13$.

Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.

$2x + 9 = 13$.

$2x = 13 - 9$.

$2x = 4$.

$x = \frac{4}{2}$.

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

6) Исходное уравнение: $4x(x - 1) - (2x + 5)(2x - 5) = 1$.

Раскроем скобки. Выражение $(2x + 5)(2x - 5)$ является разностью квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$4x^2 - 4x - ((2x)^2 - 5^2) = 1$.

$4x^2 - 4x - (4x^2 - 25) = 1$.

$4x^2 - 4x - 4x^2 + 25 = 1$.

Члены $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются.

$-4x + 25 = 1$.

$-4x = 1 - 25$.

$-4x = -24$.

$x = \frac{-24}{-4}$.

$x = 6$.

Ответ: $x = 6$.