Номер 31.26, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.26. Укажите, при каком наименьшем натуральном $\text{k}$ значение выражения:

1) $(k-3)^2 - (k+3)^2$ делится на 15;

2) $(7k+2)^2 - (7k-2)^2$ делится на 21?

1) Для того чтобы найти, при каком наименьшем натуральном $k$ значение выражения $(k-3)^2 - (k+3)^2$ делится на 15, сперва упростим это выражение.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = k-3$ и $b = k+3$. Подставим их в формулу:

$(k-3)^2 - (k+3)^2 = ((k-3) - (k+3))((k-3) + (k+3))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(k-3-k-3)(k-3+k+3) = (-6)(2k) = -12k$

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего натурального $k$, при котором $-12k$ делится на 15. Это то же самое, что и $12k$ делится на 15.

Чтобы число $12k$ делилось на 15, оно должно быть кратно 15. Разложим 12 и 15 на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $15 = 3 \cdot 5$.

Выражение $12k$ можно записать как $2^2 \cdot 3 \cdot k$. Для его делимости на $3 \cdot 5$ необходимо, чтобы в его разложении на простые множители присутствовали 3 и 5.

Множитель 3 уже есть в числе 12. Значит, для делимости на 15 не хватает множителя 5. Этот множитель должен содержаться в $k$, поскольку 12 на 5 не делится.

Следовательно, $k$ должно быть кратно 5.

Наименьшее натуральное число, кратное 5, это 5.

Проверим: если $k=5$, то значение выражения равно $-12 \cdot 5 = -60$. Число -60 делится на 15 без остатка ($-60 : 15 = -4$).

Ответ: 5.

2) Найдем, при каком наименьшем натуральном $k$ значение выражения $(7k+2)^2 - (7k-2)^2$ делится на 21.

Аналогично первому пункту, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = 7k+2$ и $b = 7k-2$.

$(7k+2)^2 - (7k-2)^2 = ((7k+2) - (7k-2))((7k+2) + (7k-2))$

Упростим выражения в скобках:

$(7k+2-7k+2)(7k+2+7k-2) = (4)(14k) = 56k$

Теперь необходимо найти наименьшее натуральное $k$, при котором $56k$ делится на 21.

Разложим числа 56 и 21 на простые множители: $56 = 7 \cdot 8$ и $21 = 3 \cdot 7$.

Условие делимости можно записать так: $56k$ должно быть кратно $3 \cdot 7$.

Поскольку $56k = 7 \cdot 8 \cdot k$, для делимости на $3 \cdot 7$ нужно, чтобы выражение $8k$ было кратно 3.

Числа 8 и 3 являются взаимно простыми, поэтому для того, чтобы произведение $8k$ делилось на 3, необходимо, чтобы $k$ делилось на 3.

Наименьшее натуральное число, которое делится на 3, это 3.

Проверим: если $k=3$, то значение выражения равно $56 \cdot 3 = 168$. Число 168 делится на 21 без остатка ($168 : 21 = 8$).

Ответ: 3.