Номер 31.20, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде многочленов произведения (31.20-31.21):

31.20.

1) $(5-a)(5+a)(25 + a^2);$

2) $(3x + 2)(3x-2)(9x^2 + 4);$

3) $(\frac{1}{3} + 2b)(\frac{1}{3} - 2b)(\frac{1}{9} + 4b^2);$

4) $(6c^2 - \frac{2}{7})(6c^2 + \frac{2}{7})(36c^4 + \frac{4}{49}).$

1) Чтобы представить произведение $(5-a)(5+a)(25 + a^2)$ в виде многочлена, будем действовать поэтапно, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Сначала перемножим первые две скобки:

$(5-a)(5+a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(25 - a^2)(25 + a^2)$.

Снова применим формулу разности квадратов, где в качестве $x$ выступает $25$, а в качестве $y$ — $a^2$:

$(25 - a^2)(25 + a^2) = (25)^2 - (a^2)^2 = 625 - a^4$.

Ответ: $625 - a^4$

2) Рассмотрим произведение $(3x+2)(3x-2)(9x^2+4)$.

Сначала перемножим первые два множителя (для удобства можно поменять их местами), используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Подставим полученный результат в выражение, получим $(9x^2-4)(9x^2+4)$.

Вновь применяем формулу разности квадратов, где $x=9x^2$ и $y=4$:

$(9x^2-4)(9x^2+4) = (9x^2)^2 - 4^2 = 81x^4 - 16$.

Ответ: $81x^4 - 16$

3) Преобразуем выражение $(\frac{1}{3}+2b)(\frac{1}{3}-2b)(\frac{1}{9}+4b^2)$ в многочлен.

Применим формулу разности квадратов к первым двум скобкам:

$(\frac{1}{3}-2b)(\frac{1}{3}+2b) = (\frac{1}{3})^2 - (2b)^2 = \frac{1}{9} - 4b^2$.

Выражение теперь выглядит так: $(\frac{1}{9}-4b^2)(\frac{1}{9}+4b^2)$.

Используем формулу разности квадратов еще раз:

$(\frac{1}{9}-4b^2)(\frac{1}{9}+4b^2) = (\frac{1}{9})^2 - (4b^2)^2 = \frac{1}{81} - 16b^4$.

Ответ: $\frac{1}{81} - 16b^4$

4) Представим в виде многочлена произведение $(6c^2-\frac{2}{7})(6c^2+\frac{2}{7})(36c^4+\frac{4}{49})$.

Начнем с умножения первых двух скобок по формуле разности квадратов:

$(6c^2-\frac{2}{7})(6c^2+\frac{2}{7}) = (6c^2)^2 - (\frac{2}{7})^2 = 36c^4 - \frac{4}{49}$.

Теперь исходное выражение можно переписать как $(36c^4 - \frac{4}{49})(36c^4 + \frac{4}{49})$.

Повторно применяем формулу разности квадратов:

$(36c^4 - \frac{4}{49})(36c^4 + \frac{4}{49}) = (36c^4)^2 - (\frac{4}{49})^2 = 1296c^8 - \frac{16}{2401}$.

Ответ: $1296c^8 - \frac{16}{2401}$