Номер 31.17, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.17. Представьте в виде произведения:

1) $m^2 - n^2 - m + n;$

2) $9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y;$

3) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12;$

4) $81 - (3-8y)^2;$

5) $(x + 5)^2 - 16;$

6) $36 - (y + 1)^2;$

7) $(3x-7)^2 - 25;$

8) $(4-5x)^2 - 64.$

1) Для разложения на множители выражения $m^2 - n^2 - m + n$ сгруппируем слагаемые: $(m^2 - n^2) - (m - n)$. Первое слагаемое является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $(m-n)(m+n) - (m-n)$. Теперь можно вынести общий множитель $(m-n)$ за скобки: $(m-n)((m+n)-1)$. Упростив выражение во второй скобке, получаем итоговый результат. Ответ: $(m-n)(m+n-1)$.

2) В выражении $9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y$ сгруппируем первые два и последние два слагаемых: $(9x^2 - 4y^2) - (3x - 2y)$. Выражение в первой скобке является разностью квадратов $(3x)^2 - (2y)^2$, которую раскладываем на множители: $(3x-2y)(3x+2y) - (3x-2y)$. Видим общий множитель $(3x-2y)$, который выносим за скобки: $(3x-2y)((3x+2y)-1)$. Упрощаем вторую скобку. Ответ: $(3x-2y)(3x+2y-1)$.

3) Для разложения выражения $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ применим метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемым: $(x^3 + 3x^2) - (4x + 12)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x+3) - 4(x+3)$. Теперь вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки: $(x+3)(x^2 - 4)$. Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов и раскладывается на $(x-2)(x+2)$. Ответ: $(x+3)(x-2)(x+2)$.

4) Выражение $81 - (3-8y)^2$ представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a^2 = 81 = 9^2$ и $b = (3-8y)$. Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)$: $(9 - (3-8y))(9 + (3-8y))$. Раскрываем внутренние скобки: $(9-3+8y)(9+3-8y)$. Упрощаем выражения в скобках: $(6+8y)(12-8y)$. Из первой скобки выносим 2, из второй 4: $2(3+4y) \cdot 4(3-2y) = 8(3+4y)(3-2y)$. Ответ: $8(3+4y)(3-2y)$.

5) Выражение $(x+5)^2 - 16$ является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (x+5)$ и $b=4$: $((x+5) - 4)((x+5) + 4)$. Упрощаем выражения в каждой из скобок: $(x+5-4)(x+5+4) = (x+1)(x+9)$. Ответ: $(x+1)(x+9)$.

6) Выражение $36 - (y+1)^2$ является разностью квадратов, так как $36 = 6^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=6$ и $b=(y+1)$: $(6 - (y+1))(6 + (y+1))$. Раскрываем внутренние скобки и упрощаем: $(6-y-1)(6+y+1) = (5-y)(7+y)$. Ответ: $(5-y)(y+7)$.

7) Выражение $(3x-7)^2 - 25$ является разностью квадратов, так как $25 = 5^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=(3x-7)$ и $b=5$: $((3x-7) - 5)((3x-7) + 5)$. Упрощаем выражения в скобках: $(3x-7-5)(3x-7+5) = (3x-12)(3x-2)$. Из первой скобки можно вынести общий множитель 3: $3(x-4)(3x-2)$. Ответ: $3(x-4)(3x-2)$.

8) Выражение $(4-5x)^2 - 64$ является разностью квадратов, так как $64 = 8^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=(4-5x)$ и $b=8$: $((4-5x)-8)((4-5x)+8)$. Упрощаем выражения в скобках: $(4-5x-8)(4-5x+8) = (-5x-4)(12-5x)$. Для более удобного вида вынесем $-1$ из каждой скобки: $(-1)(5x+4) \cdot (-1)(5x-12) = (5x+4)(5x-12)$. Ответ: $(5x+4)(5x-12)$.