Номер 31.19, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вычислите

31.19.

1) $\frac{38^2 - 28^2}{47^2 - 19^2}$

2) $\frac{53^2 - 25^2}{79^2 - 51^2}$

3) $\frac{181^2 - 61^2}{319^2 - 77^2}$

4) $\frac{200^2 - 380^2}{420^2 - 160^2}$

Для решения всех примеров воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $\frac{38^2 - 28^2}{47^2 - 19^2}$

Применим формулу разности квадратов для числителя и знаменателя дроби.

В числителе: $38^2 - 28^2 = (38 - 28)(38 + 28) = 10 \cdot 66$.

В знаменателе: $47^2 - 19^2 = (47 - 19)(47 + 19) = 28 \cdot 66$.

Теперь подставим полученные значения обратно в дробь:

$\frac{10 \cdot 66}{28 \cdot 66}$

Сократим общий множитель 66 в числителе и знаменателе:

$\frac{10}{28}$

Далее сократим дробь на 2:

$\frac{5}{14}$

Ответ: $\frac{5}{14}$

2) $\frac{53^2 - 25^2}{79^2 - 51^2}$

Снова применим формулу разности квадратов.

В числителе: $53^2 - 25^2 = (53 - 25)(53 + 25) = 28 \cdot 78$.

В знаменателе: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \cdot 130$.

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{28 \cdot 78}{28 \cdot 130}$

Сократим общий множитель 28:

$\frac{78}{130}$

Теперь сократим полученную дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 2: $\frac{78 \div 2}{130 \div 2} = \frac{39}{65}$.

Затем разделим числитель и знаменатель на 13: $\frac{39 \div 13}{65 \div 13} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

3) $\frac{181^2 - 61^2}{319^2 - 77^2}$

Используем формулу разности квадратов.

В числителе: $181^2 - 61^2 = (181 - 61)(181 + 61) = 120 \cdot 242$.

В знаменателе: $319^2 - 77^2 = (319 - 77)(319 + 77) = 242 \cdot 396$.

Получим дробь:

$\frac{120 \cdot 242}{242 \cdot 396}$

Сократим общий множитель 242:

$\frac{120}{396}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 120 и 396 это 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$\frac{120 \div 12}{396 \div 12} = \frac{10}{33}$.

Ответ: $\frac{10}{33}$

4) $\frac{200^2 - 380^2}{420^2 - 160^2}$

Применим формулу разности квадратов.

В числителе: $200^2 - 380^2 = (200 - 380)(200 + 380) = (-180) \cdot 580$.

В знаменателе: $420^2 - 160^2 = (420 - 160)(420 + 160) = 260 \cdot 580$.

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{-180 \cdot 580}{260 \cdot 580}$

Сократим общий множитель 580:

$\frac{-180}{260}$

Сократим дробь, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе (что эквивалентно делению на 10):

$\frac{-18}{26}$

Теперь сократим дробь на 2:

$\frac{-9}{13}$

Ответ: $-\frac{9}{13}$