Номер 31.14, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните умножения (31.13-31.15):

31.14.

1) $ ( \frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b ) ( \frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b );$

2) $ ( 1\frac{4}{7}x^5 - z^2 ) ( 1\frac{4}{7}x^5 + z^2 );$

3) $ ( \frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n ) ( \frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n );$

4) $ ( m^6 - 2\frac{1}{3}n^5 ) ( 2\frac{1}{3}n^5 + m^6 ).$

1) Для выполнения умножения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном выражении $x = \frac{1}{3}a$ и $y = \frac{1}{2}b$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b) = (\frac{1}{3}a)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 = \frac{1^2}{3^2}a^2 - \frac{1^2}{2^2}b^2 = \frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2$.

Ответ: $\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2$.

2) Данное выражение также является произведением разности и суммы двух выражений, поэтому применяем формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$.

В нашем случае $x = \frac{11}{7}x^5$ и $y = z^2$.

Применяем формулу:

$(\frac{11}{7}x^5 - z^2)(\frac{11}{7}x^5 + z^2) = (\frac{11}{7}x^5)^2 - (z^2)^2 = \frac{11^2}{7^2}(x^5)^2 - (z^2)^2 = \frac{121}{49}x^{10} - z^4$.

При желании можно выделить целую часть из дроби $\frac{121}{49}$: $\frac{121}{49} = 2 \frac{23}{49}$.

Ответ: $\frac{121}{49}x^{10} - z^4$ или $2 \frac{23}{49}x^{10} - z^4$.

3) В этом примере множители поменяны местами, но это все та же формула разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = \frac{2}{3}m$ и $y = \frac{3}{4}n$.

Выполним умножение по формуле:

$(\frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n)(\frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n) = (\frac{2}{3}m)^2 - (\frac{3}{4}n)^2 = \frac{2^2}{3^2}m^2 - \frac{3^2}{4^2}n^2 = \frac{4}{9}m^2 - \frac{9}{16}n^2$.

Ответ: $\frac{4}{9}m^2 - \frac{9}{16}n^2$.

4) Во второй скобке слагаемые записаны в ином порядке. Для наглядности можно поменять их местами, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $(2\frac{1}{3}n^5 + m^6) = (m^6 + 2\frac{1}{3}n^5)$.

Теперь мы снова видим формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

В этом выражении $x = m^6$ и $y = \frac{7}{3}n^5$.

Подставляем в формулу:

$(m^6 - \frac{7}{3}n^5)(m^6 + \frac{7}{3}n^5) = (m^6)^2 - (\frac{7}{3}n^5)^2 = m^{12} - \frac{7^2}{3^2}(n^5)^2 = m^{12} - \frac{49}{9}n^{10}$.

Выделим целую часть: $\frac{49}{9} = 5 \frac{4}{9}$.

Ответ: $m^{12} - \frac{49}{9}n^{10}$ или $m^{12} - 5 \frac{4}{9}n^{10}$.