Номер 31.10, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.10. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной а:

1) $(a - 10)(10 + a) + 60 - a^2;$

2) $0.64 + a^2 - (0.5 + a)(a - 0.5);$

3) $(2.4 - a)(a + 2.4) + (1.9 + a)(a - 1.9);$

4) $(17 + a)(17 - a) - (0.6 - a)(a + 0.6).$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, необходимо его упростить. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Сначала преобразуем произведение $(a - 10)(10 + a)$:

$(a - 10)(10 + a) = (a - 10)(a + 10) = a^2 - 10^2 = a^2 - 100$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(a^2 - 100) + 60 - a^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 100 + 60 - a^2 = (a^2 - a^2) + (-100 + 60) = -40$.

Полученное значение является константой и не зависит от $a$.

Ответ: -40.

2) Упростим выражение $0,64 + a^2 - (0,5 + a)(a - 0,5)$, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Преобразуем произведение $(0,5 + a)(a - 0,5)$:

$(0,5 + a)(a - 0,5) = (a + 0,5)(a - 0,5) = a^2 - 0,5^2 = a^2 - 0,25$.

Подставим результат в исходное выражение:

$0,64 + a^2 - (a^2 - 0,25)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0,64 + a^2 - a^2 + 0,25 = (a^2 - a^2) + (0,64 + 0,25) = 0,89$.

Полученное значение является константой и не зависит от $a$.

Ответ: 0,89.

3) Упростим выражение $(2,4 - a)(a + 2,4) + (1,9 + a)(a - 1,9)$.

Оба произведения в выражении преобразуются по формуле разности квадратов.

Первое произведение:

$(2,4 - a)(a + 2,4) = (2,4 - a)(2,4 + a) = 2,4^2 - a^2 = 5,76 - a^2$.

Второе произведение:

$(1,9 + a)(a - 1,9) = a^2 - 1,9^2 = a^2 - 3,61$.

Сложим полученные выражения:

$(5,76 - a^2) + (a^2 - 3,61) = 5,76 - a^2 + a^2 - 3,61 = (5,76 - 3,61) + (-a^2 + a^2) = 2,15$.

Полученное значение является константой и не зависит от $a$.

Ответ: 2,15.

4) Упростим выражение $(17 + a)(17 - a) - (0,6 - a)(a + 0,6)$.

Применим формулу разности квадратов к обеим частям выражения.

Первое произведение:

$(17 + a)(17 - a) = 17^2 - a^2 = 289 - a^2$.

Второе произведение:

$(0,6 - a)(a + 0,6) = (0,6 - a)(0,6 + a) = 0,6^2 - a^2 = 0,36 - a^2$.

Теперь выполним вычитание:

$(289 - a^2) - (0,36 - a^2) = 289 - a^2 - 0,36 + a^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(289 - 0,36) + (-a^2 + a^2) = 288,64$.

Полученное значение является константой и не зависит от $a$.

Ответ: 288,64.