Номер 31.21, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде многочленов произведения

31.21.

1) $(a - y)(a + y)(a^2 + y^2)$;

2) $(7x + 1)(7x - 1)(49x^2 + 1)$;

3) $(x - 6y^3)^2 - (x + 6y^3)^2$;

4) $(8 + x^3)(8 - x^3)(64 + x^6)$;

5) $(25x^2 + y^2)(5x + y)(5x - y)$;

6) $(16a^4 + 81b^4)(9b^2 + 4a^2)(4a^2 - 9b^2)$.

1) Для решения данного примера последовательно дважды применяется формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

$(a-y)(a+y)(a^2+y^2) = (a^2-y^2)(a^2+y^2)$

Применяя формулу второй раз, получаем:

$(a^2)^2 - (y^2)^2 = a^4-y^4$.

Ответ: $a^4-y^4$

2) Здесь также используется формула разности квадратов. Сначала сгруппируем первые два множителя.

$(7x+1)(7x-1)(49x^2+1) = ((7x)^2-1^2)(49x^2+1) = (49x^2-1)(49x^2+1)$.

Теперь снова применяем формулу разности квадратов:

$(49x^2)^2 - 1^2 = 2401x^4-1$.

Ответ: $2401x^4-1$

3) Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2-b^2$, где $a = x-6y^3$ и $b = x+6y^3$. Воспользуемся формулой $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$(x-6y^3)^2 - (x+6y^3)^2 = ((x-6y^3)-(x+6y^3))((x-6y^3)+(x+6y^3))$.

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(x-6y^3-x-6y^3)(x-6y^3+x+6y^3)$.

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$(-12y^3)(2x) = -24xy^3$.

Ответ: $-24xy^3$

4) Решение аналогично примерам 1 и 2, с последовательным применением формулы разности квадратов.

$(8+x^3)(8-x^3)(64+x^6) = (8^2 - (x^3)^2)(64+x^6) = (64-x^6)(64+x^6)$.

Применяем формулу еще раз:

$64^2 - (x^6)^2 = 4096 - x^{12}$.

Ответ: $4096 - x^{12}$

5) Для удобства вычислений изменим порядок множителей, чтобы сгруппировать те, что образуют разность квадратов.

$(25x^2+y^2)(5x+y)(5x-y) = (5x-y)(5x+y)(25x^2+y^2)$.

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:

$((5x)^2-y^2)(25x^2+y^2) = (25x^2-y^2)(25x^2+y^2)$.

И еще раз применим ту же формулу:

$(25x^2)^2 - (y^2)^2 = 625x^4 - y^4$.

Ответ: $625x^4-y^4$

6) Перегруппируем множители для последовательного применения формулы разности квадратов. Отметим, что $9b^2+4a^2 = 4a^2+9b^2$.

$(16a^4+81b^4)(9b^2+4a^2)(4a^2-9b^2) = (4a^2-9b^2)(4a^2+9b^2)(16a^4+81b^4)$.

Применим формулу к первым двум скобкам:

$((4a^2)^2-(9b^2)^2)(16a^4+81b^4) = (16a^4-81b^4)(16a^4+81b^4)$.

Снова применим формулу разности квадратов:

$(16a^4)^2 - (81b^4)^2 = 256a^8-6561b^8$.

Ответ: $256a^8-6561b^8$