Номер 31.25, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.25. Представьте в виде произведения выражение:

1) $25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10}$;

2) $(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8$.

1) Исходное выражение: $25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10}$.

Сначала вынесем за скобки общий множитель $z^{10}$:

$25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10} = z^{10}(25a^4x^2 - 9b^6y^2)$.

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Представим каждый член в скобках в виде квадрата:

$25a^4x^2 = (5a^2x)^2$

$9b^6y^2 = (3b^3y)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$25a^4x^2 - 9b^6y^2 = (5a^2x)^2 - (3b^3y)^2 = (5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$.

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$z^{10}(5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$.

Ответ: $z^{10}(5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$.

2) Исходное выражение: $(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8$.

Сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8 = 9a^4 \cdot a^2b^2 - 4b^6 \cdot a^2b^2 - 12a^2b^8 = 9a^6b^2 - 4a^2b^8 - 12a^2b^8 = 9a^6b^2 - 16a^2b^8$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $a^2b^2$:

$9a^6b^2 - 16a^2b^8 = a^2b^2(9a^4 - 16b^6)$.

Выражение в скобках $9a^4 - 16b^6$ является разностью квадратов. Представим его в виде $A^2 - B^2$:

$9a^4 = (3a^2)^2$

$16b^6 = (4b^3)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$9a^4 - 16b^6 = (3a^2)^2 - (4b^3)^2 = (3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$.

Подставим это разложение в наше выражение:

$a^2b^2(3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$.

Ответ: $a^2b^2(3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$.