Задания, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

По аналогии с доказательством формулы квадрата суммы двух выражений самостоятельно докажите формулу квадрата разности двучлена.

Формула квадрата разности двух выражений (двучлена) выглядит следующим образом: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. Докажем это тождество несколькими способами по аналогии с доказательством формулы квадрата суммы.

Алгебраическое доказательство

Это доказательство основано на определении степени и правиле умножения многочленов. Оно аналогично алгебраическому доказательству для квадрата суммы.

1. Представим квадрат разности как произведение двух одинаковых двучленов: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$.

2. Раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго (используя распределительный закон умножения): $(a-b)(a-b) = a \cdot (a-b) - b \cdot (a-b)$.

3. Выполним умножение в каждом из слагаемых: $a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a - b \cdot (-b)$.

4. Упростим выражение: $a^2 - ab - ba + b^2$.

5. Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($ab = ba$), приведем подобные слагаемые: $a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Таким образом, мы доказали, что $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: Формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ доказана алгебраически путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Доказательство с использованием формулы квадрата суммы

Этот способ доказывает формулу квадрата разности, сводя ее к уже известной формуле квадрата суммы двух выражений: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Представим разность $a-b$ как алгебраическую сумму $a+(-b)$. Тогда выражение $(a-b)^2$ примет вид $(a + (-b))^2$.

2. Теперь применим формулу квадрата суммы, где в качестве первого слагаемого выступает $a$, а в качестве второго — $(-b)$: $(a + (-b))^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2$.

3. Упростим полученное выражение, учитывая правила работы со знаками: $a^2 - 2ab + b^2$.

Мы снова пришли к требуемому результату, что доказывает верность формулы.

Ответ: Формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ доказана путем преобразования разности в сумму и применения формулы квадрата суммы.

Геометрическое доказательство

Это доказательство наглядно показывает справедливость формулы с помощью площадей геометрических фигур, по аналогии с тем, как это делается для квадрата суммы. Рассмотрим доказательство для случая, когда $a > b > 0$.

1. Построим большой квадрат со стороной $a$. Его площадь будет равна $S_{большого} = a^2$.

2. Мы хотим найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$. Эта площадь равна $(a-b)^2$. Этот квадрат можно разместить в углу большого квадрата.

3. Площадь искомого квадрата $(a-b)^2$ можно получить, если из площади большого квадрата $a^2$ вычесть площадь оставшейся Г-образной фигуры.

4. Площадь Г-образной фигуры можно вычислить как сумму площадей двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$, из которой вычтена площадь их области пересечения (квадрата со стороной $b$), так как мы посчитали ее дважды. Площадь Г-образной фигуры равна $ab + ab - b^2 = 2ab - b^2$.

5. Теперь найдем площадь искомого квадрата, вычтя из площади большого квадрата $a^2$ площадь Г-образной фигуры: $(a-b)^2 = a^2 - (2ab - b^2)$. Раскрыв скобки, получаем: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ доказана геометрически через вычисление площади квадрата со стороной $(a-b)$ как разности площадей.