Номер 32.4, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде квадрата двучлена трехчлены (32.4–32.7):

32.4. 1) $a^2 + 2a + 1$; 2) $b^2 - 8b + 16$; 3) $c^2 + 10c + 25$;

4) $n^2 + 14n + 49$; 5) $100 - 20z + z^2$; 6) $81 + 18b + b^2$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения, а именно формулы квадрата суммы и квадрата разности:

1. Квадрат суммы двух выражений: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. Квадрат разности двух выражений: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Каждый из предложенных трехчленов соответствует одной из этих формул.

1) $a^2 + 2a + 1$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$:

Первый член в квадрате: $x^2 = a^2$, следовательно, $x = a$.

Второй член в квадрате: $y^2 = 1$, следовательно, $y = 1$.

Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.

Все члены совпадают с формулой. Таким образом, получаем:

$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.

Ответ: $(a+1)^2$

2) $b^2 - 8b + 16$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$:

Первый член в квадрате: $x^2 = b^2$, следовательно, $x = b$.

Второй член в квадрате: $y^2 = 16 = 4^2$, следовательно, $y = 4$.

Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot b \cdot 4 = 8b$. Средний член в выражении равен $-8b$, что соответствует $-2xy$.

Следовательно:

$b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2$.

Ответ: $(b-4)^2$

3) $c^2 + 10c + 25$

Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$:

$x^2 = c^2$, значит $x = c$.

$y^2 = 25 = 5^2$, значит $y = 5$.

Удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot c \cdot 5 = 10c$.

Все члены совпадают, поэтому:

$c^2 + 10c + 25 = (c+5)^2$.

Ответ: $(c+5)^2$

4) $n^2 + 14n + 49$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$:

$x^2 = n^2$, значит $x = n$.

$y^2 = 49 = 7^2$, значит $y = 7$.

Удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot n \cdot 7 = 14n$.

Выражение является полным квадратом:

$n^2 + 14n + 49 = (n+7)^2$.

Ответ: $(n+7)^2$

5) $100 - 20z + z^2$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$:

Первый член в квадрате: $x^2 = 100 = 10^2$, следовательно, $x = 10$.

Второй член в квадрате: $y^2 = z^2$, следовательно, $y = z$.

Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 10 \cdot z = 20z$. Средний член в выражении равен $-20z$, что соответствует $-2xy$.

Следовательно:

$100 - 20z + z^2 = (10-z)^2$.

Ответ: $(10-z)^2$

6) $81 + 18b + b^2$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$:

$x^2 = 81 = 9^2$, значит $x = 9$.

$y^2 = b^2$, значит $y = b$.

Удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 9 \cdot b = 18b$.

Выражение является полным квадратом:

$81 + 18b + b^2 = (9+b)^2$.

Ответ: $(9+b)^2$