Номер 32.7, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде квадрата двучлена трехчлены (32.4–32.7):

32.7.

1) $ \frac{25}{4} + 5x + x^2 $;

2) $ \frac{9}{16} - \frac{3}{2}y + y^2 $;

3) $ \frac{49}{36} - \frac{7}{3}z + z^2 $;

4) $ n^2 - \frac{9}{4}cn + \frac{81}{64}c^2 $;

5) $ m^2 + \frac{11}{6}m + \frac{121}{144} $;

6) $ t^2 - \frac{17}{5}dt + \frac{289}{100}d^2 $.

1) Чтобы представить трехчлен $\frac{25}{4} + 5x + x^2$ в виде квадрата двучлена, применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном выражении можно определить слагаемые $a^2$ и $b^2$:

$a^2 = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$, следовательно, $a = \frac{5}{2}$.

$b^2 = x^2$, следовательно, $b = x$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot x = 5x$.

Поскольку средний член совпадает, исходный трехчлен является полным квадратом суммы.

$\frac{25}{4} + 5x + x^2 = (\frac{5}{2})^2 + 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot x + x^2 = (\frac{5}{2} + x)^2$.

Ответ: $(\frac{5}{2} + x)^2$.

2) Для представления трехчлена $\frac{9}{16} - \frac{3}{2}y + y^2$ в виде квадрата двучлена используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$:

$a^2 = \frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2$, значит $a = \frac{3}{4}$.

$b^2 = y^2$, значит $b = y$.

Проверим средний член, который должен быть равен $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot \frac{3}{4} \cdot y = -\frac{6}{4}y = -\frac{3}{2}y$.

Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом разности.

$\frac{9}{16} - \frac{3}{2}y + y^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot y + y^2 = (\frac{3}{4} - y)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{4} - y)^2$.

3) Для трехчлена $\frac{49}{36} - \frac{7}{3}z + z^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$:

$a^2 = \frac{49}{36} = (\frac{7}{6})^2$, значит $a = \frac{7}{6}$.

$b^2 = z^2$, значит $b = z$.

Проверим средний член $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot \frac{7}{6} \cdot z = -\frac{14}{6}z = -\frac{7}{3}z$.

Средний член совпадает, значит, выражение является полным квадратом разности.

$\frac{49}{36} - \frac{7}{3}z + z^2 = (\frac{7}{6})^2 - 2 \cdot \frac{7}{6} \cdot z + z^2 = (\frac{7}{6} - z)^2$.

Ответ: $(\frac{7}{6} - z)^2$.

4) Для трехчлена $n^2 - \frac{9}{4}cn + \frac{81}{64}c^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$:

$a^2 = n^2$, значит $a = n$.

$b^2 = \frac{81}{64}c^2 = (\frac{9}{8}c)^2$, значит $b = \frac{9}{8}c$.

Проверим средний член $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot n \cdot \frac{9}{8}c = -\frac{18}{8}cn = -\frac{9}{4}cn$.

Средний член совпадает, поэтому выражение является полным квадратом разности.

$n^2 - \frac{9}{4}cn + \frac{81}{64}c^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot \frac{9}{8}c + (\frac{9}{8}c)^2 = (n - \frac{9}{8}c)^2$.

Ответ: $(n - \frac{9}{8}c)^2$.

5) Для трехчлена $m^2 + \frac{11}{6}m + \frac{121}{144}$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$:

$a^2 = m^2$, значит $a = m$.

$b^2 = \frac{121}{144} = (\frac{11}{12})^2$, значит $b = \frac{11}{12}$.

Проверим средний член $2ab$:

$2ab = 2 \cdot m \cdot \frac{11}{12} = \frac{22}{12}m = \frac{11}{6}m$.

Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

$m^2 + \frac{11}{6}m + \frac{121}{144} = m^2 + 2 \cdot m \cdot \frac{11}{12} + (\frac{11}{12})^2 = (m + \frac{11}{12})^2$.

Ответ: $(m + \frac{11}{12})^2$.

6) Для трехчлена $t^2 - \frac{17}{5}dt + \frac{289}{100}d^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$:

$a^2 = t^2$, значит $a = t$.

$b^2 = \frac{289}{100}d^2 = (\frac{17}{10}d)^2$, значит $b = \frac{17}{10}d$.

Проверим средний член $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot t \cdot \frac{17}{10}d = -\frac{34}{10}dt = -\frac{17}{5}dt$.

Средний член совпадает, значит, выражение является полным квадратом разности.

$t^2 - \frac{17}{5}dt + \frac{289}{100}d^2 = t^2 - 2 \cdot t \cdot \frac{17}{10}d + (\frac{17}{10}d)^2 = (t - \frac{17}{10}d)^2$.

Ответ: $(t - \frac{17}{10}d)^2$.