Номер 32.12, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.12. Представьте в виде квадрата двучлена трехчлены:

1) $9y^2 - 12xy + 4y^2$;

2) $25t^2 + 30t + 9$;

3) $16k^2 - 40k + 25$;

4) $121a^2 - 44ac + 4c^2$;

5) $4n^2 + 52mn + 169m^2$;

6) $36t^2 - 84ts + 49s^2$;

7) $0.04x^2 - 1.2xy + 9y^2$;

8) $36c^2 + 6cd + 0.25d^2$;

9) $1.96k^2 - 14kt + 25t^2$;

10) $\frac{1}{49} a^2 + \frac{2}{21} ab + \frac{1}{9} b^2$;

11) $\frac{1}{4} x^2 - \frac{3}{8} xy + \frac{9}{64} y^2$;

12) $81d^2 - \frac{27}{2} cd + \frac{9}{16} c^2$.

1) В выражении $9y^2 - 12xy + 4y^2$ вероятно допущена опечатка, так как оно не является полным квадратом. Предположим, что имелось в виду выражение $9y^2 - 12xy + 4x^2$. Для него применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a=\sqrt{9y^2}=3y$, а $b=\sqrt{4x^2}=2x$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 3y \cdot 2x = 12xy$. Так как в выражении стоит знак минус, получаем $9y^2 - 12xy + 4x^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2x + (2x)^2 = (3y-2x)^2$.

Ответ: $(3y-2x)^2$.

2) Трехчлен $25t^2 + 30t + 9$ представим в виде квадрата двучлена по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Здесь $a=\sqrt{25t^2}=5t$ и $b=\sqrt{9}=3$. Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 5t \cdot 3 = 30t$, что совпадает со средним членом. Следовательно, $25t^2 + 30t + 9 = (5t+3)^2$.

Ответ: $(5t+3)^2$.

3) Для трехчлена $16k^2 - 40k + 25$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a=\sqrt{16k^2}=4k$ и $b=\sqrt{25}=5$. Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot 4k \cdot 5 = 40k$. Таким образом, $16k^2 - 40k + 25 = (4k-5)^2$.

Ответ: $(4k-5)^2$.

4) Трехчлен $121a^2 - 44ac + 4c^2$ соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. Здесь $x=\sqrt{121a^2}=11a$ и $y=\sqrt{4c^2}=2c$. Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot 11a \cdot 2c = 44ac$. Следовательно, $121a^2 - 44ac + 4c^2 = (11a-2c)^2$.

Ответ: $(11a-2c)^2$.

5) Для выражения $4n^2 + 52mn + 169m^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Здесь $a=\sqrt{4n^2}=2n$ и $b=\sqrt{169m^2}=13m$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 2n \cdot 13m = 52mn$. Таким образом, $4n^2 + 52mn + 169m^2 = (2n+13m)^2$.

Ответ: $(2n+13m)^2$.

6) Трехчлен $36t^2 - 84ts + 49s^2$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a=\sqrt{36t^2}=6t$ и $b=\sqrt{49s^2}=7s$. Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot 6t \cdot 7s = 84ts$. Следовательно, $36t^2 - 84ts + 49s^2 = (6t-7s)^2$.

Ответ: $(6t-7s)^2$.

7) Для выражения $0,04x^2 - 1,2xy + 9y^2$ используем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a=\sqrt{0,04x^2}=0,2x$ и $b=\sqrt{9y^2}=3y$. Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 0,2x \cdot 3y = 1,2xy$. Значит, $0,04x^2 - 1,2xy + 9y^2 = (0,2x-3y)^2$.

Ответ: $(0,2x-3y)^2$.

8) Трехчлен $36c^2 + 6cd + 0,25d^2$ представим в виде квадрата суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a=\sqrt{36c^2}=6c$ и $b=\sqrt{0,25d^2}=0,5d$. Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot 6c \cdot 0,5d = 6cd$. Таким образом, $36c^2 + 6cd + 0,25d^2 = (6c+0,5d)^2$.

Ответ: $(6c+0,5d)^2$.

9) Для трехчлена $1,96k^2 - 14kt + 25t^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a=\sqrt{1,96k^2}=1,4k$ и $b=\sqrt{25t^2}=5t$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 1,4k \cdot 5t = 14kt$. Следовательно, $1,96k^2 - 14kt + 25t^2 = (1,4k-5t)^2$.

Ответ: $(1,4k-5t)^2$.

10) Выражение $\frac{1}{49}a^2 + \frac{2}{21}ab + \frac{1}{9}b^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Здесь $x=\sqrt{\frac{1}{49}a^2}=\frac{1}{7}a$ и $y=\sqrt{\frac{1}{9}b^2}=\frac{1}{3}b$. Проверка среднего члена: $2xy = 2 \cdot \frac{1}{7}a \cdot \frac{1}{3}b = \frac{2}{21}ab$. Значит, $\frac{1}{49}a^2 + \frac{2}{21}ab + \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{7}a+\frac{1}{3}b)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{7}a+\frac{1}{3}b)^2$.

11) Для трехчлена $\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}xy + \frac{9}{64}y^2$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a=\sqrt{\frac{1}{4}x^2}=\frac{1}{2}x$ и $b=\sqrt{\frac{9}{64}y^2}=\frac{3}{8}y$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot \frac{3}{8}y = \frac{3}{8}xy$. Таким образом, $\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}xy + \frac{9}{64}y^2 = (\frac{1}{2}x-\frac{3}{8}y)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}x-\frac{3}{8}y)^2$.

12) Выражение $81d^2 - \frac{27}{2}cd + \frac{9}{16}c^2$ представим в виде квадрата двучлена по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a=\sqrt{81d^2}=9d$ и $b=\sqrt{\frac{9}{16}c^2}=\frac{3}{4}c$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 9d \cdot \frac{3}{4}c = \frac{54}{4}cd = \frac{27}{2}cd$. Следовательно, $81d^2 - \frac{27}{2}cd + \frac{9}{16}c^2 = (9d-\frac{3}{4}c)^2$.

Ответ: $(9d-\frac{3}{4}c)^2$.