Номер 32.15, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (32.15-32.17):

32.15. 1) $(x + 11)^2 - x^2 = 11;$

2) $69 - (13 - y)^2 = -y^2;$

3) $44 + z^2 = (12 + z)^2;$

4) $31 - t^2 = -(t - 9)^2.$

1) $(x + 11)^2 - x^2 = 11$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2) - x^2 = 11$

$x^2 + 22x + 121 - x^2 = 11$

Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:

$22x + 121 = 11$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 121 в правую часть с противоположным знаком:

$22x = 11 - 121$

$22x = -110$

Найдем $x$, разделив обе части на 22:

$x = \frac{-110}{22}$

$x = -5$

Ответ: $-5$

2) $69 - (13 - y)^2 = -y^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$69 - (13^2 - 2 \cdot 13 \cdot y + y^2) = -y^2$

$69 - (169 - 26y + y^2) = -y^2$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$69 - 169 + 26y - y^2 = -y^2$

Прибавим $y^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от квадратичных членов:

$69 - 169 + 26y - y^2 + y^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-y^2$ и $y^2$ взаимно уничтожаются:

$-100 + 26y = 0$

Перенесем -100 в правую часть:

$26y = 100$

Найдем $y$, разделив обе части на 26:

$y = \frac{100}{26}$

Сократим дробь на 2:

$y = \frac{50}{13}$

Ответ: $\frac{50}{13}$

3) $44 + z^2 = (12 + z)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$44 + z^2 = 12^2 + 2 \cdot 12 \cdot z + z^2$

$44 + z^2 = 144 + 24z + z^2$

Вычтем $z^2$ из обеих частей уравнения:

$44 = 144 + 24z$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 144 в левую часть с противоположным знаком:

$44 - 144 = 24z$

$-100 = 24z$

Найдем $z$, разделив обе части на 24:

$z = \frac{-100}{24}$

Сократим дробь на 4:

$z = -\frac{25}{6}$

Ответ: $-\frac{25}{6}$

4) $31 - t^2 = -(t - 9)^2$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$31 - t^2 = -(t^2 - 2 \cdot t \cdot 9 + 9^2)$

$31 - t^2 = -(t^2 - 18t + 81)$

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$31 - t^2 = -t^2 + 18t - 81$

Прибавим $t^2$ к обеим частям уравнения:

$31 = 18t - 81$

Перенесем -81 в левую часть с противоположным знаком:

$31 + 81 = 18t$

$112 = 18t$

Найдем $t$, разделив обе части на 18:

$t = \frac{112}{18}$

Сократим дробь на 2:

$t = \frac{56}{9}$

Ответ: $\frac{56}{9}$