Номер 32.19, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.18-32.20):

32.19. 1) $x(x-5)-(x-3)^2 < 0;$

2) $(4 + y)^2 - y(6 + y) > 0;$

3) $(17 - y)^2 > y(y - 13) - 5;$

4) $z(z - 10) > (3-z)^2.$

1) Исходное неравенство: $x(x - 5) - (x - 3)² < 0$.

Для решения раскроем скобки. Для выражения $(x-3)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 5x - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) < 0$

$x^2 - 5x - (x^2 - 6x + 9) < 0$

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные.

$x^2 - 5x - x^2 + 6x - 9 < 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства.

$(x^2 - x^2) + (-5x + 6x) - 9 < 0$

$x - 9 < 0$

Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком.

$x < 9$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до 9, не включая 9.

Ответ: $x \in (-\infty; 9)$.

2) Исходное неравенство: $(4 + y)² - y(6 + y) > 0$.

Раскроем скобки. Выражение $(4 + y)²$ раскрывается по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot y + y^2) - (y \cdot 6 + y \cdot y) > 0$

$(16 + 8y + y^2) - (6y + y^2) > 0$

Раскроем вторые скобки.

$16 + 8y + y^2 - 6y - y^2 > 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(y^2 - y^2) + (8y - 6y) + 16 > 0$

$2y + 16 > 0$

Перенесем 16 в правую часть неравенства.

$2y > -16$

Разделим обе части на 2.

$y > -8$

Решением неравенства является числовой промежуток от -8 до плюс бесконечности, не включая -8.

Ответ: $y \in (-8; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $(17 - y)² > y(y - 13) - 5$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства, используя формулу квадрата разности и распределительный закон.

$17^2 - 2 \cdot 17 \cdot y + y^2 > y^2 - 13y - 5$

$289 - 34y + y^2 > y^2 - 13y - 5$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть неравенства.

$-34y + y^2 - y^2 + 13y > -5 - 289$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях.

$-21y > -294$

Разделим обе части неравенства на -21. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный.

$y < \frac{-294}{-21}$

$y < 14$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до 14, не включая 14.

Ответ: $y \in (-\infty; 14)$.

4) Исходное неравенство: $z(z - 10) > (3 - z)²$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$z^2 - 10z > 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot z + z^2$

$z^2 - 10z > 9 - 6z + z^2$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположными знаками.

$z^2 - 10z - 9 + 6z - z^2 > 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(z^2 - z^2) + (-10z + 6z) - 9 > 0$

$-4z - 9 > 0$

Перенесем -9 в правую часть.

$-4z > 9$

Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$z < -\frac{9}{4}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$z < -2.25$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до -2.25, не включая -2.25.

Ответ: $z \in (-\infty; -2.25)$.