Номер 32.20, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.18-32.20):

32.20.

1) $(x + 9)(x - 2) - (x - 2)^2 > 0;$

2) $(10 - x)^2 + (x + 10)(10 - x) < 0;$

3) $(5 - x)(x + 5) + (x - 5)^2 > 0;$

4) $8x + (4 + x)(2 - x) + (1 - x)^2 > 0.$

1) $(x+9)(x-2) - (x-2)^2 > 0$

Для решения этого неравенства вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки.

$(x-2) \cdot ((x+9) - (x-2)) > 0$

Теперь упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки.

$(x-2) \cdot (x+9 - x + 2) > 0$

$(x-2) \cdot 11 > 0$

Поскольку 11 - положительное число, мы можем разделить обе части неравенства на 11, при этом знак неравенства не изменится.

$x-2 > 0$

Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком.

$x > 2$

Решением неравенства является интервал от 2 до плюс бесконечности, не включая 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

2) $(10-x)^2 + (x+10)(10-x) < 0$

Вынесем общий множитель $(10-x)$ за скобки.

$(10-x) \cdot ((10-x) + (x+10)) < 0$

Упростим выражение во второй скобке.

$(10-x) \cdot (10-x+x+10) < 0$

$(10-x) \cdot 20 < 0$

Разделим обе части неравенства на 20. Так как 20 > 0, знак неравенства сохраняется.

$10-x < 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства.

$10 < x$

Это означает, что $x$ больше 10.

Ответ: $x \in (10; +\infty)$

3) $(5-x)(x+5) + (x-5)^2 > 0$

Заметим, что $(x-5)^2 = (-(5-x))^2 = (5-x)^2$. Перепишем неравенство в виде:

$(5-x)(x+5) + (5-x)^2 > 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(5-x)$ за скобки.

$(5-x) \cdot ((x+5) + (5-x)) > 0$

Упростим выражение во второй скобке.

$(5-x) \cdot (x+5+5-x) > 0$

$(5-x) \cdot 10 > 0$

Разделим обе части на 10.

$5-x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть.

$5 > x$

Это означает, что $x$ меньше 5.

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$

4) $8x + (4+x)(2-x) + (1-x)^2 > 0$

Для решения этого неравенства раскроем все скобки.

Произведение скобок: $(4+x)(2-x) = 8 - 4x + 2x - x^2 = 8 - 2x - x^2$.

Квадрат разности: $(1-x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$.

Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство.

$8x + (8 - 2x - x^2) + (1 - 2x + x^2) > 0$

Теперь приведем подобные слагаемые.

$(8x - 2x - 2x) + (-x^2 + x^2) + (8 + 1) > 0$

$4x + 0 + 9 > 0$

$4x + 9 > 0$

Решим полученное линейное неравенство.

$4x > -9$

$x > -\frac{9}{4}$

$x > -2.25$

Ответ: $x \in (-\frac{9}{4}; +\infty)$