Номер 32.18, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.18-32.20):

32.18.

1) $n^2 - (n + 1)^2 > 2;$

2) $(1 - t)^2 - t^2 > 3;$

3) $(m - 2)^2 - 4 < m^2;$

4) $m^2 + 9 < (1 - m)^2.$

1) Решим неравенство $n^2 - (n + 1)^2 > 2$.

Для начала раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(n + 1)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2 = n^2 + 2n + 1$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$n^2 - (n^2 + 2n + 1) > 2$.

Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$n^2 - n^2 - 2n - 1 > 2$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-2n - 1 > 2$.

Перенесем число -1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$-2n > 2 + 1$.

$-2n > 3$.

Разделим обе части неравенства на -2. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:

$n < -\frac{3}{2}$.

$n < -1.5$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -1.5)$.

Ответ: $n \in (-\infty; -1.5)$.

2) Решим неравенство $(1 - t)^2 - t^2 > 3$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(1 - t)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot t + t^2 = 1 - 2t + t^2$.

Подставим это выражение в неравенство:

$1 - 2t + t^2 - t^2 > 3$.

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$1 - 2t > 3$.

Перенесем 1 из левой части в правую с противоположным знаком:

$-2t > 3 - 1$.

$-2t > 2$.

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$t < \frac{2}{-2}$.

$t < -1$.

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -1)$.

Ответ: $t \in (-\infty; -1)$.

3) Решим неравенство $(m - 2)^2 - 4 < m^2$.

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(m - 2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$.

Подставим выражение в неравенство:

$m^2 - 4m + 4 - 4 < m^2$.

Упростим левую часть:

$m^2 - 4m < m^2$.

Вычтем $m^2$ из обеих частей неравенства:

$m^2 - 4m - m^2 < 0$.

$-4m < 0$.

Разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный:

$m > \frac{0}{-4}$.

$m > 0$.

Решением неравенства является числовой промежуток $(0; +\infty)$.

Ответ: $m \in (0; +\infty)$.

4) Решим неравенство $m^2 + 9 < (1 - m)^2$.

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(1 - m)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot m + m^2 = 1 - 2m + m^2$.

Подставим полученное выражение в неравенство:

$m^2 + 9 < 1 - 2m + m^2$.

Вычтем $m^2$ из обеих частей неравенства, так как этот член присутствует и слева, и справа:

$9 < 1 - 2m$.

Теперь перенесем слагаемые с переменной $m$ в левую часть, а числа в правую:

$2m < 1 - 9$.

$2m < -8$.

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число):

$m < \frac{-8}{2}$.

$m < -4$.

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -4)$.

Ответ: $m \in (-\infty; -4)$.