Номер 32.13, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители трехчлены (32.13-32.14):

32.13. 1) $5x^2 + 20x + 20;$ 2) $2x^2 - 12x + 18;$

3) $-3x^2 + 18x - 27;$ 4) $-2y^2 - 16y - 32;$

5) $6x^2 + 12x + 6;$ 6) $-10a^2 + 20a - 10.$

1) Для разложения трехчлена $5x^2 + 20x + 20$ на множители первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов 5, 20 и 20 является 5.

$5x^2 + 20x + 20 = 5(x^2 + 4x + 4)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4x + 4$. Этот трехчлен является полным квадратом, так как его можно представить в виде квадрата суммы, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$. Проверим:

$a^2 = x^2$

$2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$

$b^2 = 2^2 = 4$

Таким образом, $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Подставляя это обратно в исходное выражение, получаем:

$5(x^2 + 4x + 4) = 5(x+2)^2$.

Ответ: $5(x+2)^2$.

2) Разложим на множители трехчлен $2x^2 - 12x + 18$. Вынесем за скобки общий множитель 2.

$2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности, соответствующим формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверим:

$a^2 = x^2$

$2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$

$b^2 = 3^2 = 9$

Следовательно, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2$.

Ответ: $2(x-3)^2$.

3) Разложим на множители $-3x^2 + 18x - 27$. Вынесем за скобки общий множитель -3, чтобы старший коэффициент в скобках стал положительным.

$-3x^2 + 18x - 27 = -3(x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ мы уже рассматривали в предыдущем пункте. Это полный квадрат разности $(x-3)^2$.

Таким образом, получаем:

$-3(x^2 - 6x + 9) = -3(x-3)^2$.

Ответ: $-3(x-3)^2$.

4) Разложим на множители $-2y^2 - 16y - 32$. Вынесем за скобки общий множитель -2.

$-2y^2 - 16y - 32 = -2(y^2 + 8y + 16)$

Трехчлен в скобках $y^2 + 8y + 16$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a=y$ и $b=4$. Проверим:

$a^2 = y^2$

$2ab = 2 \cdot y \cdot 4 = 8y$

$b^2 = 4^2 = 16$

Значит, $y^2 + 8y + 16 = (y+4)^2$.

Окончательный результат:

$-2(y^2 + 8y + 16) = -2(y+4)^2$.

Ответ: $-2(y+4)^2$.

5) Разложим на множители $6x^2 + 12x + 6$. Общий множитель для всех членов равен 6. Вынесем его за скобки.

$6x^2 + 12x + 6 = 6(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом суммы $(x+1)^2$.

Действительно, по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ при $a=x$ и $b=1$ получаем $x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$.

Следовательно, разложение имеет вид:

$6(x^2 + 2x + 1) = 6(x+1)^2$.

Ответ: $6(x+1)^2$.

6) Разложим на множители $-10a^2 + 20a - 10$. Вынесем за скобки общий множитель -10.

$-10a^2 + 20a - 10 = -10(a^2 - 2a + 1)$

Трехчлен в скобках $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности $(a-1)^2$.

Проверим по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ при $x=a$ и $y=1$: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.

Таким образом, окончательное разложение:

$-10(a^2 - 2a + 1) = -10(a-1)^2$.

Ответ: $-10(a-1)^2$.