Номер 32.14, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители трехчлены (32.13-32.14):

32.14.

1) $a^3 + 2a^2 + a;$

2) $x^2y - 6xy + 9y;$

3) $c^4 - 4c^3 + 4c^2;$

4) $2ay^2 - 4ay + 2a;$

5) $\frac{1}{9}a - \frac{8}{9}ab + \frac{16}{9}ab^2;$

6) $0.5cd - acd + 0.5a^2cd.$

1) Чтобы разложить на множители трехчлен $a^3 + 2a^2 + a$, первым шагом вынесем за скобки общий для всех членов множитель $a$:

$a^3 + 2a^2 + a = a(a^2 + 2a + 1)$.

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 + 2a + 1$. Оно представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=1$.

Проверим: $(a+1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$.

Таким образом, окончательное разложение трехчлена на множители имеет вид: $a(a+1)^2$.

Ответ: $a(a+1)^2$

2) Для разложения трехчлена $x^2y - 6xy + 9y$ на множители, вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$x^2y - 6xy + 9y = y(x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае первый член — $x$, второй — $3$.

Проверим: $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Следовательно, итоговое разложение: $y(x-3)^2$.

Ответ: $y(x-3)^2$

3) В трехчлене $c^4 - 4c^3 + 4c^2$ вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $c^2$:

$c^4 - 4c^3 + 4c^2 = c^2(c^2 - 4c + 4)$.

Выражение в скобках $c^2 - 4c + 4$ является полным квадратом разности. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=c$ и $y=2$, имеем:

$(c-2)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2 = c^2 - 4c + 4$.

Поэтому окончательное разложение: $c^2(c-2)^2$.

Ответ: $c^2(c-2)^2$

4) В выражении $2ay^2 - 4ay + 2a$ вынесем за скобки общий множитель $2a$:

$2ay^2 - 4ay + 2a = 2a(y^2 - 2y + 1)$.

Выражение в скобках $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x$ в формуле соответствует $y$ в нашем выражении, а $y$ в формуле соответствует $1$:

$(y-1)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = y^2 - 2y + 1$.

Таким образом, разложение на множители: $2a(y-1)^2$.

Ответ: $2a(y-1)^2$

5) В трехчлене $\frac{1}{9}a - \frac{8}{9}ab + \frac{16}{9}ab^2$ вынесем общий множитель $\frac{1}{9}a$ за скобки:

$\frac{1}{9}a(1 - 8b + 16b^2)$.

Выражение в скобках $1 - 8b + 16b^2$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=1$ и $y=4b$.

Проверим: $(1-4b)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (4b) + (4b)^2 = 1 - 8b + 16b^2$.

Следовательно, итоговое разложение: $\frac{1}{9}a(1-4b)^2$.

Ответ: $\frac{1}{9}a(1-4b)^2$

6) В выражении $0,5cd - acd + 0,5a^2cd$ вынесем за скобки общий множитель $0,5cd$:

$0,5cd(1 - \frac{acd}{0,5cd} + \frac{0,5a^2cd}{0,5cd}) = 0,5cd(1 - 2a + a^2)$.

Выражение в скобках $1 - 2a + a^2$ является полным квадратом разности. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ с $x=1$ и $y=a$, имеем:

$(1-a)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 = 1 - 2a + a^2$.

Поэтому окончательное разложение: $0,5cd(1-a)^2$.

Ответ: $0,5cd(1-a)^2$