Номер 32.16, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (32.15-32.17):

32.16.

1) $(a-3)^2 - (a + 8)(a-8) = 0;$

2) $(9-b)(b+9) + (4-b)^2 = 0;$

3) $(c-6)^2-(7 + c)^2 = 0;$

4) $(d-10)^2 + (4-d)(d+ 4) = 0.$

1) $(a-3)^2 - (a+8)(a-8) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

Первый член - это квадрат разности: $(a-3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$.

Второй член - это произведение суммы и разности, что является разностью квадратов: $(a+8)(a-8) = a^2 - 8^2 = a^2 - 64$.

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(a^2 - 6a + 9) - (a^2 - 64) = 0$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$a^2 - 6a + 9 - a^2 + 64 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) - 6a + (9 + 64) = 0$

$-6a + 73 = 0$

Это линейное уравнение. Перенесем 73 в правую часть с противоположным знаком:

$-6a = -73$

Разделим обе части на -6, чтобы найти $a$:

$a = \frac{-73}{-6} = \frac{73}{6}$

Выделим целую часть:

$a = 12 \frac{1}{6}$

Ответ: $12 \frac{1}{6}$.

2) $(9-b)(b+9) + (4-b)^2 = 0$

Используем те же формулы сокращенного умножения.

Первый член - это произведение разности и суммы, которое можно представить как $(9-b)(9+b)$: $(9-b)(9+b) = 9^2 - b^2 = 81 - b^2$.

Второй член - это квадрат разности: $(4-b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot b + b^2 = 16 - 8b + b^2$.

Подставим в уравнение:

$(81 - b^2) + (16 - 8b + b^2) = 0$

Раскроем скобки:

$81 - b^2 + 16 - 8b + b^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-b^2 + b^2) - 8b + (81 + 16) = 0$

$-8b + 97 = 0$

Перенесем 97 в правую часть уравнения:

$-8b = -97$

Разделим обе части на -8:

$b = \frac{-97}{-8} = \frac{97}{8}$

Выделим целую часть:

$b = 12 \frac{1}{8}$

Ответ: $12 \frac{1}{8}$.

3) $(c-6)^2 - (7+c)^2 = 0$

Это уравнение представляет собой разность квадратов $X^2 - Y^2 = 0$, где $X = c-6$ и $Y = 7+c$. Воспользуемся формулой разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

$((c-6) - (7+c))((c-6) + (7+c)) = 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

В первой скобке: $c-6-7-c = -13$.

Во второй скобке: $c-6+7+c = 2c+1$.

Уравнение принимает вид:

$-13(2c+1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $-13 \neq 0$, то равен нулю второй множитель:

$2c+1 = 0$

$2c = -1$

$c = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4) $(d-10)^2 + (4-d)(d+4) = 0$

Снова применяем формулы сокращенного умножения.

Первый член - квадрат разности: $(d-10)^2 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 10 + 10^2 = d^2 - 20d + 100$.

Второй член - разность квадратов: $(4-d)(d+4) = (4-d)(4+d) = 4^2 - d^2 = 16 - d^2$.

Подставим в уравнение:

$(d^2 - 20d + 100) + (16 - d^2) = 0$

Раскроем скобки:

$d^2 - 20d + 100 + 16 - d^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(d^2 - d^2) - 20d + (100 + 16) = 0$

$-20d + 116 = 0$

Перенесем 116 в правую часть:

$-20d = -116$

Разделим обе части на -20:

$d = \frac{-116}{-20} = \frac{116}{20}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$d = \frac{29}{5}$

Представим в виде десятичной дроби:

$d = 5.8$

Ответ: $5.8$.