Номер 32.23, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.23. Представьте выражение в виде квадрата многочлена:

1) $a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16}$;

2) $a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8$;

3) $81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2$;

4) $16x^2 + 24x^3 + 9x^4$.

1) $a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16}$

Для того чтобы представить данное выражение в виде квадрата многочлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16}$ можно предположить, что первый и последний члены являются квадратами некоторых выражений:

Первый член: $a^{10} = (a^5)^2$. Значит, $x = a^5$.

Последний член: $25b^{16} = (5b^8)^2$. Значит, $y = 5b^8$.

Теперь проверим, совпадает ли удвоенное произведение $2xy$ со средним членом выражения $-10a^5b^8$.

$2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot a^5 \cdot 5b^8 = 10a^5b^8$.

Так как средний член в исходном выражении имеет знак минус ($-10a^5b^8$), мы используем формулу квадрата разности:

$a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16} = (a^5)^2 - 2 \cdot a^5 \cdot 5b^8 + (5b^8)^2 = (a^5 - 5b^8)^2$.

Ответ: $(a^5 - 5b^8)^2$.

2) $a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8$

Для представления данного выражения в виде квадрата многочлена используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, так как все члены выражения положительны.

В выражении $a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8$ определим слагаемые, которые могут быть квадратами:

Первый член: $a^6 = (a^3)^2$. Значит, $x = a^3$.

Последний член: $9x^8 = (3x^4)^2$. Значит, $y = 3x^4$.

Проверим средний член, который должен быть равен удвоенному произведению $2xy$.

$2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot a^3 \cdot 3x^4 = 6a^3x^4$.

Это значение совпадает со средним членом исходного выражения. Следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

$a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot 3x^4 + (3x^4)^2 = (a^3 + 3x^4)^2$.

Ответ: $(a^3 + 3x^4)^2$.

3) $81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2$

Данное выражение похоже на полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$ из первого и последнего членов выражения $81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2$.

Первый член: $81a^6 = (9a^3)^2$. Следовательно, $x = 9a^3$.

Последний член: $25b^4c^2 = (5b^2c)^2$. Следовательно, $y = 5b^2c$.

Проверим, равен ли средний член $-90a^3b^2c$ удвоенному произведению $-2xy$.

$2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot (9a^3) \cdot (5b^2c) = 90a^3b^2c$.

Поскольку средний член в исходном выражении $-90a^3b^2c$ имеет знак минус, мы используем формулу квадрата разности.

$81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2 = (9a^3)^2 - 2 \cdot 9a^3 \cdot 5b^2c + (5b^2c)^2 = (9a^3 - 5b^2c)^2$.

Ответ: $(9a^3 - 5b^2c)^2$.

4) $16x^2 + 24x^3 + 9x^4$

Это выражение можно представить в виде квадрата многочлена, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, так как все его члены положительны.

Рассмотрим члены выражения $16x^2 + 24x^3 + 9x^4$.

Пусть первый член формулы $x^2$ соответствует $16x^2$. Тогда $x = \sqrt{16x^2} = 4x$.

Пусть второй член формулы $y^2$ соответствует $9x^4$. Тогда $y = \sqrt{9x^4} = 3x^2$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $24x^3$ удвоенному произведению $2xy$.

$2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot (4x) \cdot (3x^2) = 24x^3$.

Средний член совпадает. Таким образом, выражение является полным квадратом суммы.

$16x^2 + 24x^3 + 9x^4 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3x^2 + (3x^2)^2 = (4x + 3x^2)^2$.

Ответ: $(4x + 3x^2)^2$.