Номер 32.28, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.28-32.30):

32.28.

1) $(3.5 - x)(4x + 1) + (2x + 3)^{2} < 0;$

2) $8(y - 3)^{2} + (5 - y)(3 + 8y) > 2;$

3) $(3z + \frac{1}{3})^{2} - (1.5z + 1)(6z - 1) < 0;$

4) $(7z - \frac{1}{7})^{2} - (24.5z + 11)(2z - 1) > \frac{1}{49}.$

1) Решим неравенство $(3,5 - x)(4x + 1) + (2x + 3)^2 < 0$.

Сначала раскроем скобки. Произведение $(3,5 - x)(4x + 1)$ равно $3,5 \cdot 4x + 3,5 \cdot 1 - x \cdot 4x - x \cdot 1 = 14x + 3,5 - 4x^2 - x$.

Квадрат двучлена $(2x + 3)^2$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ равен $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:

$(14x + 3,5 - 4x^2 - x) + (4x^2 + 12x + 9) < 0$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(-4x^2 + 4x^2) + (14x - x + 12x) + (3,5 + 9) < 0$

$25x + 12,5 < 0$.

Перенесем $12,5$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$25x < -12,5$.

Разделим обе части на $25$:

$x < \frac{-12.5}{25}$

$x < -0,5$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -0,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5)$.

2) Решим неравенство $8(y - 3)^2 + (5 - y)(3 + 8y) > 2$.

Раскроем скобки. Сначала для первого слагаемого, используя формулу квадрата разности: $8(y - 3)^2 = 8(y^2 - 6y + 9) = 8y^2 - 48y + 72$.

Затем для второго слагаемого: $(5 - y)(3 + 8y) = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 8y - y \cdot 3 - y \cdot 8y = 15 + 40y - 3y - 8y^2 = -8y^2 + 37y + 15$.

Подставим полученные выражения в неравенство:

$(8y^2 - 48y + 72) + (-8y^2 + 37y + 15) > 2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(8y^2 - 8y^2) + (-48y + 37y) + (72 + 15) > 2$

$-11y + 87 > 2$.

Перенесем $87$ в правую часть:

$-11y > 2 - 87$

$-11y > -85$.

Разделим обе части на $-11$, изменив знак неравенства на противоположный:

$y < \frac{-85}{-11}$

$y < \frac{85}{11}$.

Можно представить ответ в виде смешанной дроби $y < 7\frac{8}{11}$.

Ответ: $y \in (-\infty; \frac{85}{11})$.

3) Решим неравенство $(3z + \frac{1}{3})^2 - (1,5z + 1)(6z - 1) < 0$.

Раскроем квадрат суммы: $(3z + \frac{1}{3})^2 = (3z)^2 + 2 \cdot 3z \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = 9z^2 + 2z + \frac{1}{9}$.

Раскроем произведение скобок: $(1,5z + 1)(6z - 1) = 1,5z \cdot 6z - 1,5z \cdot 1 + 1 \cdot 6z - 1 \cdot 1 = 9z^2 - 1,5z + 6z - 1 = 9z^2 + 4,5z - 1$.

Подставим в неравенство:

$(9z^2 + 2z + \frac{1}{9}) - (9z^2 + 4,5z - 1) < 0$.

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$9z^2 + 2z + \frac{1}{9} - 9z^2 - 4,5z + 1 < 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9z^2 - 9z^2) + (2z - 4,5z) + (\frac{1}{9} + 1) < 0$

$-2,5z + \frac{10}{9} < 0$.

Перенесем $-2,5z$ в правую часть:

$\frac{10}{9} < 2,5z$.

Представим $2,5$ как дробь $\frac{5}{2}$: $\frac{10}{9} < \frac{5}{2}z$.

Чтобы найти $z$, умножим обе части на $\frac{2}{5}$:

$z > \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{5}$

$z > \frac{20}{45}$

$z > \frac{4}{9}$.

Ответ: $z \in (\frac{4}{9}; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(7z - \frac{1}{7})^2 - (24,5z + 11)(2z - 1) > \frac{1}{49}$.

Раскроем квадрат разности: $(7z - \frac{1}{7})^2 = (7z)^2 - 2 \cdot 7z \cdot \frac{1}{7} + (\frac{1}{7})^2 = 49z^2 - 2z + \frac{1}{49}$.

Раскроем произведение скобок: $(24,5z + 11)(2z - 1) = 24,5z \cdot 2z - 24,5z \cdot 1 + 11 \cdot 2z - 11 \cdot 1 = 49z^2 - 24,5z + 22z - 11 = 49z^2 - 2,5z - 11$.

Подставим в неравенство:

$(49z^2 - 2z + \frac{1}{49}) - (49z^2 - 2,5z - 11) > \frac{1}{49}$.

Раскроем скобки:

$49z^2 - 2z + \frac{1}{49} - 49z^2 + 2,5z + 11 > \frac{1}{49}$.

Приведем подобные слагаемые:

$(49z^2 - 49z^2) + (-2z + 2,5z) + 11 + \frac{1}{49} > \frac{1}{49}$

$0,5z + 11 + \frac{1}{49} > \frac{1}{49}$.

Вычтем $\frac{1}{49}$ из обеих частей неравенства:

$0,5z + 11 > 0$.

Перенесем $11$ в правую часть:

$0,5z > -11$.

Разделим обе части на $0,5$ (что равносильно умножению на 2):

$z > -22$.

Ответ: $z \in (-22; +\infty)$.