Номер 32.26, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (32.26-32.27):

32.26. 1) $(2a - 11)(11 + 2a) - (2a - 5)^2 = 0;$

2) $(4 + 9b)^2 + (9b + 2)(2 - 9b) = 0;$

3) $(2.5 - 8c)^2 - (8c - 1.5)(8c + 1.5) = 12.5;$

4) $(\frac{3}{4} - 5d)(5d + \frac{3}{4}) + (5d - \frac{3}{4})^2 = 0.$

1) Для решения уравнения $(2a-11)(11+2a) - (2a-5)^2 = 0$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Перепишем первый член как $(2a-11)(2a+11)$ и применим формулу разности квадратов:

$(2a)^2 - 11^2 = 4a^2 - 121$.

Раскроем второй член по формуле квадрата разности:

$(2a-5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(4a^2 - 121) - (4a^2 - 20a + 25) = 0$.

Раскроем скобки, меняя знак у второго выражения:

$4a^2 - 121 - 4a^2 + 20a - 25 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + 20a + (-121 - 25) = 0$

$20a - 146 = 0$.

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$20a = 146$

$a = \frac{146}{20} = \frac{73}{10} = 7,3$.

Ответ: $a=7,3$

2) В уравнении $(4 + 9b)^2 + (9b + 2)(2 - 9b) = 0$ также применим формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и разность квадратов.

Раскроем первый член по формуле квадрата суммы:

$(4 + 9b)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 9b + (9b)^2 = 16 + 72b + 81b^2$.

Второй член $(9b+2)(2-9b)$ можно переписать как $(2+9b)(2-9b)$ и применить формулу разности квадратов:

$(2+9b)(2-9b) = 2^2 - (9b)^2 = 4 - 81b^2$.

Подставим в уравнение:

$(16 + 72b + 81b^2) + (4 - 81b^2) = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$16 + 72b + 81b^2 + 4 - 81b^2 = 0$

$(81b^2 - 81b^2) + 72b + (16 + 4) = 0$

$72b + 20 = 0$.

Решим линейное уравнение:

$72b = -20$

$b = -\frac{20}{72}$.

Сократим дробь на 4:

$b = -\frac{5}{18}$.

Ответ: $b = -\frac{5}{18}$

3) Решим уравнение $(2,5 - 8c)^2 - (8c - 1,5)(8c + 1,5) = 12,5$.

Применим формулу квадрата разности для первого члена:

$(2,5 - 8c)^2 = 2,5^2 - 2 \cdot 2,5 \cdot 8c + (8c)^2 = 6,25 - 40c + 64c^2$.

Для второго члена применим формулу разности квадратов:

$(8c - 1,5)(8c + 1,5) = (8c)^2 - 1,5^2 = 64c^2 - 2,25$.

Подставим выражения в уравнение:

$(6,25 - 40c + 64c^2) - (64c^2 - 2,25) = 12,5$.

Раскроем скобки:

$6,25 - 40c + 64c^2 - 64c^2 + 2,25 = 12,5$.

Приведем подобные слагаемые:

$(64c^2 - 64c^2) - 40c + (6,25 + 2,25) = 12,5$

$-40c + 8,5 = 12,5$.

Решим полученное уравнение:

$-40c = 12,5 - 8,5$

$-40c = 4$

$c = \frac{4}{-40} = -\frac{1}{10} = -0,1$.

Ответ: $c = -0,1$

4) Решим уравнение $(\frac{3}{4} - 5d)(5d + \frac{3}{4}) + (5d - \frac{3}{4})^2 = 0$.

Перепишем первый член в более удобном виде: $(\frac{3}{4} - 5d)(\frac{3}{4} + 5d)$ и применим формулу разности квадратов:

$(\frac{3}{4})^2 - (5d)^2 = \frac{9}{16} - 25d^2$.

Ко второму члену применим формулу квадрата разности:

$(5d - \frac{3}{4})^2 = (5d)^2 - 2 \cdot 5d \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 = 25d^2 - \frac{30d}{4} + \frac{9}{16} = 25d^2 - \frac{15d}{2} + \frac{9}{16}$.

Подставим выражения в исходное уравнение:

$(\frac{9}{16} - 25d^2) + (25d^2 - \frac{15d}{2} + \frac{9}{16}) = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные:

$\frac{9}{16} - 25d^2 + 25d^2 - \frac{15d}{2} + \frac{9}{16} = 0$

$(-25d^2 + 25d^2) - \frac{15d}{2} + (\frac{9}{16} + \frac{9}{16}) = 0$

$-\frac{15d}{2} + \frac{18}{16} = 0$.

Сократим дробь $\frac{18}{16}$ до $\frac{9}{8}$:

$-\frac{15d}{2} + \frac{9}{8} = 0$.

Перенесем член с переменной вправо:

$\frac{9}{8} = \frac{15d}{2}$.

Выразим $d$:

$d = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{15} = \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 15} = \frac{18}{120}$.

Сократим полученную дробь. Сначала на 6:

$d = \frac{3}{20}$.

Ответ: $d = \frac{3}{20}$