Номер 32.24, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.24. Представьте в виде квадрата двучлена трехчлен:

1) $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$;

2) $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2}$;

3) $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2$;

4) $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2}$;

5) $\frac{1}{4x^2} + 1 + x^2$;

6) $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2}$.

1) Для того чтобы представить трехчлен $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном выражении мы можем определить слагаемые, соответствующие квадратам. Пусть $a^2 = x^2$, тогда $a=x$. Пусть $b^2 = \frac{1}{x^2}$, тогда $b=\frac{1}{x}$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$.

Это совпадает со средним членом исходного трехчлена. Следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2$.

Ответ: $(x + \frac{1}{x})^2$.

2) Рассмотрим трехчлен $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2}$. Для его преобразования используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = \frac{x^2}{y^2}$, тогда $a = \frac{x}{y}$. Пусть $b^2 = \frac{y^2}{x^2}$, тогда $b = \frac{y}{x}$.

Проверим средний член. Удвоенное произведение $2ab$ равно $2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} = 2$.

Так как в исходном выражении средний член равен $-2$, то оно соответствует квадрату разности.

Таким образом, $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2} = (\frac{x}{y})^2 - 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2$.

Ответ: $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2$.

3) Представим трехчлен $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2$ в виде квадрата двучлена. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном выражении определим члены, являющиеся квадратами. Пусть $A^2 = \frac{a^2}{b^2}$, тогда $A = \frac{a}{b}$. Пусть $B^2 = b^2$, тогда $B = b$.

Проверим, соответствует ли средний член $-2a$ удвоенному произведению $-2AB$.

$-2AB = -2 \cdot \frac{a}{b} \cdot b = -2a$.

Это совпадает со средним членом исходного трехчлена. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

$\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2 = (\frac{a}{b})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot b + (b)^2 = (\frac{a}{b} - b)^2$.

Ответ: $(\frac{a}{b} - b)^2$.

4) Рассмотрим трехчлен $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2}$. Для преобразования используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^2 = \frac{a^2}{4b^2}$, тогда $A = \frac{a}{2b}$. Пусть $B^2 = \frac{4b^2}{a^2}$, тогда $B = \frac{2b}{a}$.

Проверим средний член. Удвоенное произведение $2AB$ равно:

$2AB = 2 \cdot \frac{a}{2b} \cdot \frac{2b}{a} = 2$.

Средний член совпадает, значит, выражение является полным квадратом суммы.

$\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2} = (\frac{a}{2b})^2 + 2 \cdot \frac{a}{2b} \cdot \frac{2b}{a} + (\frac{2b}{a})^2 = (\frac{a}{2b} + \frac{2b}{a})^2$.

Ответ: $(\frac{a}{2b} + \frac{2b}{a})^2$.

5) Представим трехчлен $\frac{1}{4x^2} + 1 + x^2$ в виде квадрата двучлена. Для удобства переставим слагаемые: $x^2 + 1 + \frac{1}{4x^2}$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = x^2$, тогда $a=x$. Пусть $b^2 = \frac{1}{4x^2}$, тогда $b=\frac{1}{2x}$.

Проверим средний член. Удвоенное произведение $2ab$ равно:

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2x} = 1$.

Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

$x^2 + 1 + \frac{1}{4x^2} = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2x} + (\frac{1}{2x})^2 = (x + \frac{1}{2x})^2$.

Ответ: $(x + \frac{1}{2x})^2$.

6) Рассмотрим трехчлен $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2}$. Для его преобразования используем формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^2 = \frac{9x^2}{4y^2}$, тогда $A = \frac{3x}{2y}$. Пусть $B^2 = \frac{1}{9x^2}$, тогда $B = \frac{1}{3x}$.

Проверим, соответствует ли средний член $-\frac{1}{y}$ удвоенному произведению $-2AB$.

$-2AB = -2 \cdot \frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{3x} = -\frac{2 \cdot 3x}{2y \cdot 3x} = -\frac{1}{y}$.

Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом разности.

$\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2} = (\frac{3x}{2y})^2 - 2 \cdot \frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{3x} + (\frac{1}{3x})^2 = (\frac{3x}{2y} - \frac{1}{3x})^2$.

Ответ: $(\frac{3x}{2y} - \frac{1}{3x})^2$.