Номер 32.29, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.28-32.30):

32.29. 1) $(4x-3)(4x + 3) - (4x - 1)^2 < 3x$;

2) $3(x - 1)^2 - 3x(x - 5) > 21$;

3) $10(x - 2)^2 - 5x(2x-1) < -30$;

4) $(5x + 6)^2 - (5x-6)^2 > 12$.

1) $(4x - 3)(4x + 3) - (4x - 1)^2 < 3x$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$((4x)^2 - 3^2) - ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) < 3x$

$(16x^2 - 9) - (16x^2 - 8x + 1) < 3x$

$16x^2 - 9 - 16x^2 + 8x - 1 < 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$8x - 10 < 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$8x - 3x < 10$

$5x < 10$

Разделим обе части на 5:

$x < 2$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) $3(x - 1)^2 - 3x(x - 5) > 21$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат $(x-1)$, а затем умножим на 3. Также раскроем скобки $-3x(x-5)$.

$3(x^2 - 2x + 1) - 3x^2 + 15x > 21$

$3x^2 - 6x + 3 - 3x^2 + 15x > 21$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3x^2 - 3x^2) + (-6x + 15x) + 3 > 21$

$9x + 3 > 21$

Перенесем 3 в правую часть:

$9x > 21 - 3$

$9x > 18$

Разделим обе части на 9:

$x > 2$

Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) $10(x - 2)^2 - 5x(2x - 1) < -30$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$10(x^2 - 4x + 4) - 10x^2 + 5x < -30$

$10x^2 - 40x + 40 - 10x^2 + 5x < -30$

Приведем подобные слагаемые:

$(10x^2 - 10x^2) + (-40x + 5x) + 40 < -30$

$-35x + 40 < -30$

Перенесем 40 в правую часть:

$-35x < -30 - 40$

$-35x < -70$

Разделим обе части на -35, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-70}{-35}$

$x > 2$

Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $(5x + 6)^2 - (5x - 6)^2 > 12$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 5x+6$ и $b = 5x-6$.

$((5x + 6) - (5x - 6))((5x + 6) + (5x - 6)) > 12$

Раскроем внутренние скобки:

$(5x + 6 - 5x + 6)(5x + 6 + 5x - 6) > 12$

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$(12)(10x) > 12$

$120x > 12$

Разделим обе части на 120:

$x > \frac{12}{120}$

$x > \frac{1}{10}$

Решением неравенства является интервал $(\frac{1}{10}; +\infty)$ или $(0.1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0.1; +\infty)$.