Номер 32.10, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (32.8–32.10):

32.10. 1) $a(a-2b) - (3b + a)^2;$

2) $(m + 8)^2 - (m - 2n)(m + 2n);$

3) $3(b - 10)^2 + 8b - 5b^2;$

4) $(n + 15)^2 - n(n - 19);$

5) $4c(9c - 3) - (6c + 1)^2;$

6) $(6 - 5m)(5m + 6) + (5m - 4)^2.$

1) Для упрощения выражения $a(a-2b) - (3b+a)^2$ сначала раскроем скобки. Первое слагаемое $a(a-2b)$ равно $a^2 - 2ab$. Второе слагаемое $(3b+a)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $(3b+a)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot a + a^2 = 9b^2 + 6ab + a^2$.

Теперь подставим раскрытые выражения в исходное: $a^2 - 2ab - (9b^2 + 6ab + a^2) = a^2 - 2ab - 9b^2 - 6ab - a^2$.

Приведем подобные слагаемые: $(a^2 - a^2) + (-2ab - 6ab) - 9b^2 = -8ab - 9b^2$.

Ответ: $-8ab - 9b^2$.

2) Для упрощения выражения $(m+8)^2 - (m-2n)(m+2n)$ применим формулы сокращенного умножения. Для $(m+8)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $m^2 + 2 \cdot m \cdot 8 + 8^2 = m^2 + 16m + 64$.

Для $(m-2n)(m+2n)$ используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$: $m^2 - (2n)^2 = m^2 - 4n^2$.

Подставим полученные выражения в исходное: $(m^2 + 16m + 64) - (m^2 - 4n^2) = m^2 + 16m + 64 - m^2 + 4n^2$.

Приведем подобные слагаемые: $(m^2 - m^2) + 16m + 4n^2 + 64 = 4n^2 + 16m + 64$.

Ответ: $4n^2 + 16m + 64$.

3) Упростим выражение $3(b-10)^2 + 8b - 5b^2$. Сначала раскроем скобку $(b-10)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 10 + 10^2 = b^2 - 20b + 100$.

Теперь подставим это в исходное выражение: $3(b^2 - 20b + 100) + 8b - 5b^2 = 3b^2 - 60b + 300 + 8b - 5b^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(3b^2 - 5b^2) + (-60b + 8b) + 300 = -2b^2 - 52b + 300$.

Ответ: $-2b^2 - 52b + 300$.

4) Упростим выражение $(n+15)^2 - n(n-19)$. Раскроем квадрат суммы $(n+15)^2$ по формуле: $n^2 + 2 \cdot n \cdot 15 + 15^2 = n^2 + 30n + 225$.

Раскроем вторую часть выражения: $-n(n-19) = -n^2 + 19n$.

Сложим полученные результаты: $(n^2 + 30n + 225) - n^2 + 19n$.

Приведем подобные слагаемые: $(n^2 - n^2) + (30n + 19n) + 225 = 49n + 225$.

Ответ: $49n + 225$.

5) Упростим выражение $4c(9c-3) - (6c+1)^2$. Раскроем первую скобку: $4c(9c-3) = 36c^2 - 12c$.

Раскроем вторую скобку по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $(6c+1)^2 = (6c)^2 + 2 \cdot 6c \cdot 1 + 1^2 = 36c^2 + 12c + 1$.

Подставим в исходное выражение: $(36c^2 - 12c) - (36c^2 + 12c + 1) = 36c^2 - 12c - 36c^2 - 12c - 1$.

Приведем подобные слагаемые: $(36c^2 - 36c^2) + (-12c - 12c) - 1 = -24c - 1$.

Ответ: $-24c - 1$.

6) Упростим выражение $(6-5m)(5m+6) + (5m-4)^2$. Первое слагаемое $(6-5m)(6+5m)$ является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$: $6^2 - (5m)^2 = 36 - 25m^2$.

Второе слагаемое $(5m-4)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $(5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot 4 + 4^2 = 25m^2 - 40m + 16$.

Сложим полученные выражения: $(36 - 25m^2) + (25m^2 - 40m + 16)$.

Приведем подобные слагаемые: $(-25m^2 + 25m^2) - 40m + (36 + 16) = -40m + 52$.

Ответ: $52 - 40m$.