Номер 32.6, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде квадрата двучлена трехчлены (32.4–32.7):

32.6.

1) $\frac{4}{9} + \frac{4}{3}a + a^2$;

2) $\frac{9}{25} + \frac{6}{5}b + b^2$;

3) $\frac{16}{49} + \frac{8}{7}c + c^2$;

4) $\frac{100}{121}k^2 - \frac{20}{11}tk + t^2$;

5) $m^2 - \frac{22}{13}mn + \frac{121}{169}n^2$;

6) $\frac{400}{441}t^2 + \frac{40}{21}nt + n^2$.

1) Чтобы представить трехчлен $\frac{4}{9} + \frac{4}{3}a + a^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении $a^2$ можно считать первым квадратом, то есть $x^2 = a^2$, откуда $x=a$.

Член $\frac{4}{9}$ можно считать вторым квадратом, то есть $y^2 = \frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$, откуда $y = \frac{2}{3}$.

Теперь проверим, равен ли средний член $\frac{4}{3}a$ удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot a \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}a$.

Поскольку средний член совпадает, данный трехчлен является полным квадратом суммы $a$ и $\frac{2}{3}$.

Таким образом, $\frac{4}{9} + \frac{4}{3}a + a^2 = (\frac{2}{3} + a)^2$.

Ответ: $(\frac{2}{3} + a)^2$

2) Для трехчлена $\frac{9}{25} + \frac{6}{5}b + b^2$ применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим слагаемые двучлена. Первый квадрат — это $b^2$, значит $x = b$.

Второй квадрат — это $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2$, значит $y = \frac{3}{5}$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $2xy$.

$2xy = 2 \cdot b \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}b$.

Средний член совпадает. Значит, выражение является квадратом суммы.

Следовательно, $\frac{9}{25} + \frac{6}{5}b + b^2 = (\frac{3}{5} + b)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{5} + b)^2$

3) Представим трехчлен $\frac{16}{49} + \frac{8}{7}c + c^2$ в виде квадрата двучлена, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В выражении $c^2$ — это первый квадрат, так что $x = c$.

Член $\frac{16}{49}$ — это второй квадрат, $\frac{16}{49} = (\frac{4}{7})^2$, так что $y = \frac{4}{7}$.

Проверим, равен ли средний член $\frac{8}{7}c$ удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot c \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{7}c$.

Средний член совпадает. Это подтверждает, что выражение является полным квадратом.

Значит, $\frac{16}{49} + \frac{8}{7}c + c^2 = (\frac{4}{7} + c)^2$.

Ответ: $(\frac{4}{7} + c)^2$

4) Для представления трехчлена $\frac{100}{121}k^2 - \frac{20}{11}tk + t^2$ в виде квадрата двучлена воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый квадрат в выражении — это $\frac{100}{121}k^2 = (\frac{10}{11}k)^2$, следовательно, $x = \frac{10}{11}k$.

Второй квадрат — это $t^2$, следовательно, $y = t$.

Проверим средний член (удвоенное произведение со знаком минус). Он должен быть равен $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot \frac{10}{11}k \cdot t = -\frac{20}{11}kt$.

Средний член $-\frac{20}{11}tk$ совпадает с вычисленным. Таким образом, это квадрат разности.

Получаем: $\frac{100}{121}k^2 - \frac{20}{11}tk + t^2 = (\frac{10}{11}k - t)^2$.

Ответ: $(\frac{10}{11}k - t)^2$

5) Трехчлен $m^2 - \frac{22}{13}mn + \frac{121}{169}n^2$ нужно представить в виде квадрата двучлена. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый квадрат — это $m^2$, значит $x=m$.

Второй квадрат — это $\frac{121}{169}n^2 = (\frac{11}{13}n)^2$, значит $y = \frac{11}{13}n$.

Проверим средний член, который должен быть равен $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot m \cdot \frac{11}{13}n = -\frac{22}{13}mn$.

Средний член совпадает. Это квадрат разности.

Таким образом, $m^2 - \frac{22}{13}mn + \frac{121}{169}n^2 = (m - \frac{11}{13}n)^2$.

Ответ: $(m - \frac{11}{13}n)^2$

6) Представим $\frac{400}{441}t^2 + \frac{40}{21}nt + n^2$ в виде квадрата двучлена по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый квадрат — $\frac{400}{441}t^2$. Так как $\sqrt{400}=20$ и $\sqrt{441}=21$, то $\frac{400}{441}t^2 = (\frac{20}{21}t)^2$. Значит, $x = \frac{20}{21}t$.

Второй квадрат — $n^2$, значит $y=n$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $2xy$.

$2xy = 2 \cdot \frac{20}{21}t \cdot n = \frac{40}{21}tn$.

Средний член $\frac{40}{21}nt$ совпадает. Следовательно, это полный квадрат суммы.

В результате: $\frac{400}{441}t^2 + \frac{40}{21}nt + n^2 = (\frac{20}{21}t + n)^2$.

Ответ: $(\frac{20}{21}t + n)^2$