Вопросы для закрепления, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В чем сходство и различие между формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений?

2. От чего зависит использование формулы квадрата суммы и квадрата разности "слева направо" или "справа налево"?

1. В чем сходство и различие между формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений?

Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений относятся к формулам сокращенного умножения. Давайте их запишем и сравним.

Формула квадрата суммы двух выражений $a$ и $b$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Формула квадрата разности двух выражений $a$ и $b$:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Сходство:

• Обе формулы раскрывают квадрат двучлена (бинома) в многочлен, состоящий из трех членов (трехчлен или трином).
• Первый член в правой части обеих формул — это квадрат первого выражения ($a^2$).
• Третий (последний) член в правой части обеих формул — это квадрат второго выражения ($b^2$). Важно отметить, что этот член всегда положителен.

Различие:

• Единственное различие между этими формулами заключается в знаке второго (среднего) члена в правой части.
• В формуле квадрата суммы второй член — это положительное удвоенное произведение первого и второго выражений ($+2ab$).
• В формуле квадрата разности второй член — это отрицательное удвоенное произведение первого и второго выражений ($-2ab$).

Ответ: Сходство формул квадрата суммы и квадрата разности заключается в том, что результатом их применения является трехчлен, содержащий квадрат первого выражения и квадрат второго выражения. Различие состоит в знаке среднего члена: у квадрата суммы это удвоенное произведение со знаком "плюс", а у квадрата разности — со знаком "минус".

2. От чего зависит использование формулы квадрата суммы и квадрата разности "слева направо" или "справа налево"?

Использование формул "слева направо" или "справа налево" зависит исключительно от цели, которую необходимо достичь при преобразовании математического выражения.

Использование "слева направо":

$(a \pm b)^2 \rightarrow a^2 \pm 2ab + b^2$

Этот способ используется, когда необходимо:

• Раскрыть скобки. Например, при решении уравнений или приведении подобных членов. Пример: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$.
• Упростить выражение. Если в выражении есть квадрат суммы или разности, его раскрытие может привести к дальнейшим упрощениям. Пример: $(x+1)^2 - x^2 = (x^2+2x+1) - x^2 = 2x+1$.
• Возвести в квадрат числовое выражение. Это может упростить вычисления. Пример: $102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$.

Использование "справа налево":

$a^2 \pm 2ab + b^2 \rightarrow (a \pm b)^2$

Этот способ, называемый также "сворачиванием" в полный квадрат или выделением полного квадрата, используется, когда необходимо:

• Разложить многочлен на множители. Представление трехчлена в виде квадрата двучлена является одним из методов факторизации. Пример: $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$.
• Упростить дроби. Если числитель или знаменатель можно "свернуть" в квадрат, это может позволить сократить дробь. Пример: $\frac{a^2 + 2a + 1}{a+1} = \frac{(a+1)^2}{a+1} = a+1$.
• Решить уравнения. Выделение полного квадрата — основной метод решения квадратных уравнений. Пример: $x^2 + 4x + 4 = 0 \rightarrow (x+2)^2 = 0 \rightarrow x = -2$.
• Найти наименьшее или наибольшее значение выражения. Пример: Чтобы найти наименьшее значение выражения $x^2 - 6x + 15$, его преобразуют к виду $(x-3)^2 + 6$. Так как квадрат всегда неотрицателен, наименьшее значение достигается при $x=3$ и равно $6$.

Ответ: Выбор направления использования формулы (раскрытие скобок "слева направо" или разложение на множители "справа налево") зависит от поставленной математической задачи: нужно ли избавиться от скобок и степени для упрощения, или, наоборот, представить многочлен в виде компактного множителя (квадрата двучлена) для дальнейших преобразований, таких как факторизация или решение уравнений.