Номер 32.2, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде многочленов (32.1-32.2):

32.2.

1) $(a + \frac{1}{7})^2$; 2) $(\frac{1}{9} + b)^2$; 3) $(\frac{n}{4} + \frac{m}{3})^2$; 4) $(\frac{k}{2} - \frac{t}{5})^2$;

5) $(4\frac{1}{3} - x)^2$; 6) $(y + 3\frac{1}{4})^2$; 7) $(z - 5\frac{1}{5})^2$; 8) $(4\frac{1}{2} + t)^2$.

1) Чтобы представить выражение $(a + \frac{1}{7})^2$ в виде многочлена, используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x=a$ и $y=\frac{1}{7}$.

Подставим значения в формулу:

$(a + \frac{1}{7})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{7} + (\frac{1}{7})^2 = a^2 + \frac{2}{7}a + \frac{1}{49}$.

Ответ: $a^2 + \frac{2}{7}a + \frac{1}{49}$.

2) Для выражения $(\frac{1}{9} + b)^2$ применим ту же формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x=\frac{1}{9}$ и $y=b$.

Подставим значения в формулу:

$(\frac{1}{9} + b)^2 = (\frac{1}{9})^2 + 2 \cdot \frac{1}{9} \cdot b + b^2 = \frac{1}{81} + \frac{2}{9}b + b^2$.

Запишем результат в стандартном виде многочлена, расположив члены в порядке убывания степеней $b$.

Ответ: $b^2 + \frac{2}{9}b + \frac{1}{81}$.

3) Для выражения $(\frac{n}{4} + \frac{m}{3})^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В этом случае $x=\frac{n}{4}$ и $y=\frac{m}{3}$.

Подставим значения в формулу:

$(\frac{n}{4} + \frac{m}{3})^2 = (\frac{n}{4})^2 + 2 \cdot \frac{n}{4} \cdot \frac{m}{3} + (\frac{m}{3})^2 = \frac{n^2}{16} + \frac{2nm}{12} + \frac{m^2}{9}$.

Упростим средний член: $\frac{2nm}{12} = \frac{nm}{6}$.

Получаем: $\frac{n^2}{16} + \frac{nm}{6} + \frac{m^2}{9}$.

Ответ: $\frac{n^2}{16} + \frac{nm}{6} + \frac{m^2}{9}$.

4) Чтобы представить выражение $(\frac{k}{2} - \frac{t}{5})^2$ в виде многочлена, используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x=\frac{k}{2}$ и $y=\frac{t}{5}$.

Подставим значения в формулу:

$(\frac{k}{2} - \frac{t}{5})^2 = (\frac{k}{2})^2 - 2 \cdot \frac{k}{2} \cdot \frac{t}{5} + (\frac{t}{5})^2 = \frac{k^2}{4} - \frac{2kt}{10} + \frac{t^2}{25}$.

Упростим средний член: $\frac{2kt}{10} = \frac{kt}{5}$.

Получаем: $\frac{k^2}{4} - \frac{kt}{5} + \frac{t^2}{25}$.

Ответ: $\frac{k^2}{4} - \frac{kt}{5} + \frac{t^2}{25}$.

5) Для выражения $(4\frac{1}{3} - x)^2$ сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.

Теперь имеем выражение $(\frac{13}{3} - x)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{13}{3}$ и $b=x$.

$(\frac{13}{3} - x)^2 = (\frac{13}{3})^2 - 2 \cdot \frac{13}{3} \cdot x + x^2 = \frac{169}{9} - \frac{26}{3}x + x^2$.

Запишем результат в стандартном виде многочлена: $x^2 - \frac{26}{3}x + \frac{169}{9}$.

Ответ: $x^2 - \frac{26}{3}x + \frac{169}{9}$.

6) В выражении $(y + 3\frac{1}{4})^2$ представим смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.

Теперь имеем выражение $(y + \frac{13}{4})^2$. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a=y$ и $b=\frac{13}{4}$.

$(y + \frac{13}{4})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{13}{4} + (\frac{13}{4})^2 = y^2 + \frac{26}{4}y + \frac{169}{16}$.

Упростим коэффициент при $y$: $\frac{26}{4} = \frac{13}{2}$.

Получаем: $y^2 + \frac{13}{2}y + \frac{169}{16}$.

Ответ: $y^2 + \frac{13}{2}y + \frac{169}{16}$.

7) В выражении $(z - 5\frac{1}{5})^2$ представим смешанное число в виде неправильной дроби: $5\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{26}{5}$.

Теперь имеем выражение $(z - \frac{26}{5})^2$. Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=z$ и $b=\frac{26}{5}$.

$(z - \frac{26}{5})^2 = z^2 - 2 \cdot z \cdot \frac{26}{5} + (\frac{26}{5})^2 = z^2 - \frac{52}{5}z + \frac{676}{25}$.

Ответ: $z^2 - \frac{52}{5}z + \frac{676}{25}$.

8) В выражении $(4\frac{1}{2} + t)^2$ представим смешанное число в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$.

Теперь имеем выражение $(\frac{9}{2} + t)^2$. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a=\frac{9}{2}$ и $b=t$.

$(\frac{9}{2} + t)^2 = (\frac{9}{2})^2 + 2 \cdot \frac{9}{2} \cdot t + t^2 = \frac{81}{4} + 9t + t^2$.

Запишем результат в стандартном виде многочлена: $t^2 + 9t + \frac{81}{4}$.

Ответ: $t^2 + 9t + \frac{81}{4}$.