Номер 90, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.4. Задачи на проценты. Глава 1. Дроби и проценты - номер 90, страница 29.

90 МОДЕЛИРУЕМ Решите задачу, используя схематические рисунки.

а) Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги?

Решение. Цена альбома – 100%. Изобразим её каким-либо отрезком. Увеличим этот отрезок на 25%, т. е. на $1/4$ его длины; получим отрезок, соответствующий цене книги (рис. 1.9).

Теперь цена книги составляет 100% (рис. 1.10). Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на $1/5$ этого отрезка. Так как $1/5$ составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

б) Блюдце на 20% дешевле тарелки. На сколько процентов тарелка дороже блюдца?

в) Чашка на 20% дороже блюдца. Какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца? На сколько процентов блюдце дешевле чашки?

г) Цена книги была повышена на 10%. В конце года вновь была установлена старая цена. На сколько процентов снизили цену книги в конце года?

Цена альбома – 100%

Цена книги

на 25% больше

Рис. 1.9

Цена книги – 100%

Цена альбома

на 20% меньше

Рис. 1.10

а)

Пусть цена альбома составляет $А$. Примем ее за 100%.
Цена книги, $К$, дороже цены альбома на 25%. Следовательно, цена книги составляет 125% от цены альбома:
$К = А + 0.25 \cdot А = 1.25 \cdot А$.
Теперь необходимо найти, на сколько процентов альбом дешевле книги. В этом случае за 100% принимается цена книги $К$.
Разница в цене составляет $К - А = 1.25 \cdot А - А = 0.25 \cdot А$.
Чтобы выразить эту разницу в процентах от цены книги, составим пропорцию:
$\frac{\text{Разница}}{\text{Цена книги}} \cdot 100\% = \frac{0.25 \cdot А}{1.25 \cdot А} \cdot 100\%$.
Переменная $А$ сокращается, и получается:
$\frac{0.25}{1.25} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$.
Таким образом, альбом дешевле книги на 20%.

Ответ: на 20%.

б)

Пусть цена тарелки составляет $Т$. Примем ее за 100%.
Цена блюдца, $Б$, на 20% дешевле цены тарелки. Следовательно, цена блюдца составляет 80% от цены тарелки:
$Б = Т - 0.20 \cdot Т = 0.8 \cdot Т$.
Теперь необходимо найти, на сколько процентов тарелка дороже блюдца. В этом случае за 100% принимается цена блюдца $Б$.
Разница в цене составляет $Т - Б = Т - 0.8 \cdot Т = 0.2 \cdot Т$.
Чтобы выразить эту разницу в процентах от цены блюдца, составим пропорцию:
$\frac{\text{Разница}}{\text{Цена блюдца}} \cdot 100\% = \frac{0.2 \cdot Т}{0.8 \cdot Т} \cdot 100\%$.
Переменная $Т$ сокращается, и получается:
$\frac{0.2}{0.8} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Таким образом, тарелка дороже блюдца на 25%.

Ответ: на 25%.

в)

Пусть цена блюдца составляет $Б$. Примем ее за 100%.
Цена чашки, $Ч$, на 20% дороже цены блюдца. Следовательно, цена чашки составляет 120% от цены блюдца:
$Ч = Б + 0.20 \cdot Б = 1.2 \cdot Б$.
1. Найдем, какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца. Для этого вычислим отношение $\frac{Б}{Ч}$:
$\frac{Б}{Ч} = \frac{Б}{1.2 \cdot Б} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{12/10} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
2. Найдем, на сколько процентов блюдце дешевле чашки. В этом случае за 100% принимается цена чашки $Ч$.
Разница в цене составляет $Ч - Б = 1.2 \cdot Б - Б = 0.2 \cdot Б$.
Выразим эту разницу в процентах от цены чашки:
$\frac{\text{Разница}}{\text{Цена чашки}} \cdot 100\% = \frac{0.2 \cdot Б}{1.2 \cdot Б} \cdot 100\% = \frac{1}{6} \cdot 100\% = \frac{100}{6}\% = 16\frac{2}{3}\%$.
Таким образом, блюдце дешевле чашки на $16\frac{2}{3}\%$.

Ответ: стоимость блюдца составляет $\frac{5}{6}$ стоимости чашки; блюдце дешевле чашки на $16\frac{2}{3}\%$.

г)

Пусть первоначальная (старая) цена книги равна $Ц_{\text{старая}}$.
После повышения на 10% новая цена $Ц_{\text{новая}}$ стала:
$Ц_{\text{новая}} = Ц_{\text{старая}} + 0.10 \cdot Ц_{\text{старая}} = 1.1 \cdot Ц_{\text{старая}}$.
В конце года цену снизили с $Ц_{\text{новая}}$ обратно до $Ц_{\text{старая}}$. Чтобы найти процент снижения, нужно принять за 100% новую цену $Ц_{\text{новая}}$.
Сумма, на которую снизили цену, равна разнице между новой и старой ценой: $Ц_{\text{новая}} - Ц_{\text{старая}} = 0.1 \cdot Ц_{\text{старая}}$.
Процент снижения равен отношению суммы снижения к новой цене, умноженному на 100%:
$\frac{Ц_{\text{новая}} - Ц_{\text{старая}}}{Ц_{\text{новая}}} \cdot 100\% = \frac{0.1 \cdot Ц_{\text{старая}}}{1.1 \cdot Ц_{\text{старая}}} \cdot 100\%$.
Переменная $Ц_{\text{старая}}$ сокращается:
$\frac{0.1}{1.1} \cdot 100\% = \frac{1}{11} \cdot 100\% = \frac{100}{11}\% = 9\frac{1}{11}\%$.
Следовательно, цену книги снизили на $9\frac{1}{11}\%$.

Ответ: на $9\frac{1}{11}\%$.