Страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

89. a) В школе 16% девочек и 28% мальчиков занимаются в спортивных секциях. Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях, если число мальчиков и число девочек в школе одинаково?

б) В школьном оркестре играют 12% всех мальчиков, которые учатся в школе, и 8% всех девочек. Сколько всего процентов учащихся школы играет в оркестре, если мальчики составляют $ \frac{3}{5} $ всех учащихся школы?

а)

Пусть $N$ — это число девочек в школе. Поскольку по условию число мальчиков и девочек одинаково, то мальчиков в школе тоже $N$.
Общее число учеников в школе равно $N + N = 2N$.
Число девочек, занимающихся в спортивных секциях, составляет $16\%$ от их общего числа, то есть $0.16 \times N$.
Число мальчиков, занимающихся в спортивных секциях, составляет $28\%$ от их общего числа, то есть $0.28 \times N$.
Суммарное число школьников, занимающихся в секциях, равно $0.16N + 0.28N = 0.44N$.
Чтобы найти, какой процент от общего числа школьников занимаются в секциях, разделим количество занимающихся на общее число школьников и умножим на $100\%$:
$ \frac{0.44N}{2N} \times 100\% = 0.22 \times 100\% = 22\% $
Так как количество мальчиков и девочек одинаково, искомый процент является средним арифметическим заданных процентов:
$ \frac{16\% + 28\%}{2} = \frac{44\%}{2} = 22\% $

Ответ: 22% школьников занимаются в спортивных секциях.

б)

Пусть $S$ — это общее число всех учащихся в школе.
Согласно условию, мальчики составляют $\frac{3}{5}$ всех учащихся, следовательно, их число равно $\frac{3}{5}S$.
Тогда девочки составляют оставшуюся часть: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$. Число девочек в школе равно $\frac{2}{5}S$.
Количество мальчиков, играющих в оркестре, составляет $12\%$ от числа всех мальчиков. Выразим их долю от общего числа учащихся в школе: $0.12 \times \frac{3}{5}S = \frac{12}{100} \times \frac{3}{5}S = \frac{36}{500}S = 0.072S$.
Количество девочек, играющих в оркестре, составляет $8\%$ от числа всех девочек. Выразим их долю от общего числа учащихся в школе: $0.08 \times \frac{2}{5}S = \frac{8}{100} \times \frac{2}{5}S = \frac{16}{500}S = 0.032S$.
Общее число учащихся, играющих в оркестре, равно сумме мальчиков и девочек в оркестре: $0.072S + 0.032S = 0.104S$.
Следовательно, в оркестре играет $0.104 \times 100\% = 10.4\%$ всех учащихся школы.

Ответ: 10,4% всех учащихся школы играет в оркестре.

90 МОДЕЛИРУЕМ Решите задачу, используя схематические рисунки.

а) Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги?

Решение. Цена альбома – 100%. Изобразим её каким-либо отрезком. Увеличим этот отрезок на 25%, т. е. на $1/4$ его длины; получим отрезок, соответствующий цене книги (рис. 1.9).

Теперь цена книги составляет 100% (рис. 1.10). Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на $1/5$ этого отрезка. Так как $1/5$ составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

б) Блюдце на 20% дешевле тарелки. На сколько процентов тарелка дороже блюдца?

в) Чашка на 20% дороже блюдца. Какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца? На сколько процентов блюдце дешевле чашки?

г) Цена книги была повышена на 10%. В конце года вновь была установлена старая цена. На сколько процентов снизили цену книги в конце года?

Цена альбома – 100%

Цена книги

на 25% больше

Рис. 1.9

Цена книги – 100%

Цена альбома

на 20% меньше

Рис. 1.10

а)

Пусть цена альбома составляет $А$. Примем ее за 100%.
Цена книги, $К$, дороже цены альбома на 25%. Следовательно, цена книги составляет 125% от цены альбома:
$К = А + 0.25 \cdot А = 1.25 \cdot А$.
Теперь необходимо найти, на сколько процентов альбом дешевле книги. В этом случае за 100% принимается цена книги $К$.
Разница в цене составляет $К - А = 1.25 \cdot А - А = 0.25 \cdot А$.
Чтобы выразить эту разницу в процентах от цены книги, составим пропорцию:
$\frac{\text{Разница}}{\text{Цена книги}} \cdot 100\% = \frac{0.25 \cdot А}{1.25 \cdot А} \cdot 100\%$.
Переменная $А$ сокращается, и получается:
$\frac{0.25}{1.25} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$.
Таким образом, альбом дешевле книги на 20%.

Ответ: на 20%.

б)

Пусть цена тарелки составляет $Т$. Примем ее за 100%.
Цена блюдца, $Б$, на 20% дешевле цены тарелки. Следовательно, цена блюдца составляет 80% от цены тарелки:
$Б = Т - 0.20 \cdot Т = 0.8 \cdot Т$.
Теперь необходимо найти, на сколько процентов тарелка дороже блюдца. В этом случае за 100% принимается цена блюдца $Б$.
Разница в цене составляет $Т - Б = Т - 0.8 \cdot Т = 0.2 \cdot Т$.
Чтобы выразить эту разницу в процентах от цены блюдца, составим пропорцию:
$\frac{\text{Разница}}{\text{Цена блюдца}} \cdot 100\% = \frac{0.2 \cdot Т}{0.8 \cdot Т} \cdot 100\%$.
Переменная $Т$ сокращается, и получается:
$\frac{0.2}{0.8} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Таким образом, тарелка дороже блюдца на 25%.

Ответ: на 25%.

в)

Пусть цена блюдца составляет $Б$. Примем ее за 100%.
Цена чашки, $Ч$, на 20% дороже цены блюдца. Следовательно, цена чашки составляет 120% от цены блюдца:
$Ч = Б + 0.20 \cdot Б = 1.2 \cdot Б$.
1. Найдем, какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца. Для этого вычислим отношение $\frac{Б}{Ч}$:
$\frac{Б}{Ч} = \frac{Б}{1.2 \cdot Б} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{12/10} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
2. Найдем, на сколько процентов блюдце дешевле чашки. В этом случае за 100% принимается цена чашки $Ч$.
Разница в цене составляет $Ч - Б = 1.2 \cdot Б - Б = 0.2 \cdot Б$.
Выразим эту разницу в процентах от цены чашки:
$\frac{\text{Разница}}{\text{Цена чашки}} \cdot 100\% = \frac{0.2 \cdot Б}{1.2 \cdot Б} \cdot 100\% = \frac{1}{6} \cdot 100\% = \frac{100}{6}\% = 16\frac{2}{3}\%$.
Таким образом, блюдце дешевле чашки на $16\frac{2}{3}\%$.

Ответ: стоимость блюдца составляет $\frac{5}{6}$ стоимости чашки; блюдце дешевле чашки на $16\frac{2}{3}\%$.

г)

Пусть первоначальная (старая) цена книги равна $Ц_{\text{старая}}$.
После повышения на 10% новая цена $Ц_{\text{новая}}$ стала:
$Ц_{\text{новая}} = Ц_{\text{старая}} + 0.10 \cdot Ц_{\text{старая}} = 1.1 \cdot Ц_{\text{старая}}$.
В конце года цену снизили с $Ц_{\text{новая}}$ обратно до $Ц_{\text{старая}}$. Чтобы найти процент снижения, нужно принять за 100% новую цену $Ц_{\text{новая}}$.
Сумма, на которую снизили цену, равна разнице между новой и старой ценой: $Ц_{\text{новая}} - Ц_{\text{старая}} = 0.1 \cdot Ц_{\text{старая}}$.
Процент снижения равен отношению суммы снижения к новой цене, умноженному на 100%:
$\frac{Ц_{\text{новая}} - Ц_{\text{старая}}}{Ц_{\text{новая}}} \cdot 100\% = \frac{0.1 \cdot Ц_{\text{старая}}}{1.1 \cdot Ц_{\text{старая}}} \cdot 100\%$.
Переменная $Ц_{\text{старая}}$ сокращается:
$\frac{0.1}{1.1} \cdot 100\% = \frac{1}{11} \cdot 100\% = \frac{100}{11}\% = 9\frac{1}{11}\%$.
Следовательно, цену книги снизили на $9\frac{1}{11}\%$.

Ответ: на $9\frac{1}{11}\%$.