Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

108 Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 3? Какой цифрой оканчивается число: $3^{10}$; $3^{15}$; $3^{120}$; $3^{126}$?

Чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 3, рассмотрим несколько первых степеней и проследим за последней цифрой результата. Последняя цифра произведения двух чисел зависит только от последних цифр этих чисел.

• $3^1 = 3$. Последняя цифра – 3.
• $3^2 = 9$. Последняя цифра – 9.
• $3^3 = 27$. Последняя цифра – 7.
• $3^4 = 81$. Последняя цифра – 1.
• $3^5 = 243$. Последняя цифра – 3.
• $3^6 = 729$. Последняя цифра – 9.

Как видно, последние цифры степеней числа 3 повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Это означает, что при возведении числа 3 в степень, результат может оканчиваться только на одну из этих четырех цифр.

Ответ: Числа, получающиеся при возведении в степень числа 3, могут оканчиваться цифрами 3, 9, 7, 1.

Теперь определим, какой цифрой оканчивается каждое из указанных чисел. Для этого нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

• Если остаток равен 1, то последняя цифра будет 3 (как у $3^1$).
• Если остаток равен 2, то последняя цифра будет 9 (как у $3^2$).
• Если остаток равен 3, то последняя цифра будет 7 (как у $3^3$).
• Если остаток равен 0 (т.е. показатель степени делится на 4 без остатка), то последняя цифра будет 1 (как у $3^4$).

$3^{10}$

Найдем остаток от деления показателя степени 10 на 4.
$10 \div 4 = 2$ (остаток 2).
Остаток 2 соответствует второй цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 9.

Ответ: 9.

$3^{15}$

Найдем остаток от деления показателя степени 15 на 4.
$15 \div 4 = 3$ (остаток 3).
Остаток 3 соответствует третьей цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 7.

Ответ: 7.

$3^{120}$

Найдем остаток от деления показателя степени 120 на 4.
$120 \div 4 = 30$ (остаток 0).
Остаток 0 соответствует четвертой цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 1.

Ответ: 1.

$3^{126}$

Найдем остаток от деления показателя степени 126 на 4.
$126 \div 4 = 31$ (остаток 2).
Остаток 2 соответствует второй цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 9.

Ответ: 9.

109 Какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7? Какой цифрой оканчивается число: $7^{40}$; $7^{61}$; $7^{30}$; $7^{23}$?

Чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7, найдем закономерность в их последних цифрах, рассмотрев несколько первых степеней:

• $7^1 = 7$ (оканчивается на 7)
• $7^2 = 49$ (оканчивается на 9)
• $7^3 = 343$ (оканчивается на 3)
• $7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)
• $7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)

Последние цифры степеней числа 7 циклически повторяются с периодом 4: последовательность 7, 9, 3, 1. Таким образом, последняя цифра степени $7^n$ определяется остатком от деления показателя $n$ на 4.

• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 1 (например, $n=1, 5, 9, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 7.
• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 2 (например, $n=2, 6, 10, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 9.
• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 3 (например, $n=3, 7, 11, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 3.
• Если показатель степени $n$ делится на 4 без остатка (например, $n=4, 8, 12, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 1.

Следовательно, степени числа 7 могут оканчиваться только цифрами из этого цикла.
Ответ: 1, 3, 7, 9.

Теперь, используя эту закономерность, определим последнюю цифру для каждого из указанных чисел.

$7^{40}$

Найдем остаток от деления показателя степени 40 на 4.
$40 \div 4 = 10$ с остатком 0.
Так как показатель делится на 4 без остатка, последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Ответ: 1.

$7^{61}$

Найдем остаток от деления показателя степени 61 на 4.
$61 = 60 + 1 = 4 \times 15 + 1$. Остаток равен 1.
Последняя цифра будет такой же, как у $7^1$, то есть 7.
Ответ: 7.

$7^{30}$

Найдем остаток от деления показателя степени 30 на 4.
$30 = 28 + 2 = 4 \times 7 + 2$. Остаток равен 2.
Последняя цифра будет такой же, как у $7^2$, то есть 9.
Ответ: 9.

$7^{23}$

Найдем остаток от деления показателя степени 23 на 4.
$23 = 20 + 3 = 4 \times 5 + 3$. Остаток равен 3.
Последняя цифра будет такой же, как у $7^3$, то есть 3.
Ответ: 3.

110 Какое из чисел: $2^{100}$, $2^{101}$, $2^{102}$, $2^{103}$ — оканчивается той же цифрой, что и число $2^{10}$?

Чтобы определить, какое из чисел оканчивается на ту же цифру, что и число $2^{10}$, нам нужно найти закономерность в последних цифрах степеней двойки.

Выпишем последние цифры для первых нескольких степеней числа 2:

• $2^1 = 2$
• $2^2 = 4$
• $2^3 = 8$
• $2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
• $2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
• $2^6 = 64$ (оканчивается на 4)

Как видно, последние цифры степеней двойки повторяются с циклом из 4 цифр: 2, 4, 8, 6. Это означает, что последняя цифра числа $2^n$ (где $n$ — натуральное число) зависит от остатка от деления показателя степени $n$ на 4.

• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 1 ($n=4k+1$), то последняя цифра — 2.
• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 2 ($n=4k+2$), то последняя цифра — 4.
• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 3 ($n=4k+3$), то последняя цифра — 8.
• Если $n$ делится на 4 без остатка ($n=4k$), то последняя цифра — 6.

Сначала определим последнюю цифру для числа $2^{10}$. Для этого найдем остаток от деления 10 на 4:

$10 = 4 \cdot 2 + 2$.

Остаток равен 2. Следовательно, число $2^{10}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^2$, то есть на 4. (Для проверки: $2^{10} = 1024$).

Теперь нам нужно найти, какое из предложенных чисел также оканчивается на 4. Для этого мы ищем число, показатель степени которого при делении на 4 также дает остаток 2.

• Для числа $2^{100}$: $100 \div 4 = 25$ с остатком 0. Последняя цифра будет 6.
• Для числа $2^{101}$: $101 \div 4 = 25$ с остатком 1. Последняя цифра будет 2.
• Для числа $2^{102}$: $102 \div 4 = 25$ с остатком 2. Последняя цифра будет 4.
• Для числа $2^{103}$: $103 \div 4 = 25$ с остатком 3. Последняя цифра будет 8.

Сравнив результаты, мы видим, что только число $2^{102}$ оканчивается на цифру 4, так же как и число $2^{10}$.

Ответ: $2^{102}$.

111 Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой. Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой.

Чтобы определить последнюю цифру степени числа, нужно найти закономерность в последних цифрах начальных степеней этого числа. Рассмотрим степени числа 3:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
• $3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
• $3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Следовательно, последняя цифра числа $3^n$ зависит от остатка от деления показателя $n$ на 4.

• Если $n \equiv 1 \pmod{4}$, последняя цифра — 3.
• Если $n \equiv 2 \pmod{4}$, последняя цифра — 9.
• Если $n \equiv 3 \pmod{4}$, последняя цифра — 7.
• Если $n \equiv 0 \pmod{4}$, последняя цифра — 1.

Теперь найдем остаток от деления на 4 для каждого из показателей: 33, 333 и 3333. Для определения остатка от деления числа на 4 достаточно рассмотреть число, образованное его двумя последними цифрами.

• Для 33: $33 = 4 \times 8 + 1 \implies 33 \equiv 1 \pmod{4}$.
• Для 333: остаток от деления 333 на 4 такой же, как у 33, то есть $333 \equiv 33 \equiv 1 \pmod{4}$.
• Для 3333: остаток от деления 3333 на 4 такой же, как у 33, то есть $3333 \equiv 33 \equiv 1 \pmod{4}$.

Поскольку все три показателя степени (33, 333 и 3333) дают остаток 1 при делении на 4, все три числа ($3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$) оканчиваются на одну и ту же цифру, соответствующую остатку 1. Это первая цифра в цикле — 3.

Ответ: Все три числа оканчиваются на цифру 3, так как их показатели степени при делении на 4 дают одинаковый остаток, равный 1.

Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Мы ищем степень числа 3, которая оканчивается на цифру 3. Как было показано выше, это происходит, когда показатель степени при делении на 4 дает в остатке 1. То есть, нам нужно найти число $n$ (отличное от 33, 333, 3333) такое, что $n \equiv 1 \pmod{4}$.

Возьмем простой случай, например, $n=5$. Проверим: $5 = 4 \times 1 + 1$, то есть $5 \equiv 1 \pmod{4}$. Вычислим $3^5$: $3^5 = 243$. Это число действительно оканчивается на 3. Другим простым примером является $3^1=3$.

Ответ: $3^5$.

112 Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой. Приведите еще примеры таких чисел.

Для того чтобы любая натуральная степень числа оканчивалась на одну и ту же цифру, необходимо, чтобы последняя цифра этого числа обладала таким свойством. Последняя цифра результата возведения в степень зависит только от последней цифры основания. Пусть $x$ — искомое число, а $d$ — его последняя цифра. Тогда последняя цифра числа $x^n$ (где $n$ — любое натуральное число) будет такой же, как последняя цифра числа $d^n$. Нам нужно найти такие цифры $d$, отличные от 0 и 1, для которых $d^n$ всегда оканчивается на $d$.

Проанализируем поведение последних цифр степеней для цифр от 2 до 9:

• Степени чисел, оканчивающихся на 2, 3, 4, 7, 8, 9, имеют циклически меняющиеся последние цифры. Например, для числа, оканчивающегося на 2: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$ (последняя цифра 6), $2^5=32$ (последняя цифра 2). Цикл последних цифр: 2, 4, 8, 6.
• Степени чисел, оканчивающихся на 5, всегда оканчиваются на 5. Например, $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$.
• Степени чисел, оканчивающихся на 6, всегда оканчиваются на 6. Например, $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$.

Из анализа видно, что только числа, оканчивающиеся на 5 или 6, удовлетворяют условию задачи (помимо 0 и 1, которые исключены).

Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой.
Примером такого числа является 5. Любая его натуральная степень ($5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$ и так далее) оканчивается на цифру 5.

Приведите ещё примеры таких чисел.
Другими примерами являются все числа, оканчивающиеся на 5 или 6. Например: 6 (все его степени оканчиваются на 6), 15, 16, 25, 36, 105, 116.

Ответ: 5. Ещё примеры: 6, 15, 16, 25, 36.