Номер 110, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Последняя цифра степени. Глава 1. Дроби и проценты - номер 110, страница 36.

110 Какое из чисел: $2^{100}$, $2^{101}$, $2^{102}$, $2^{103}$ — оканчивается той же цифрой, что и число $2^{10}$?

Чтобы определить, какое из чисел оканчивается на ту же цифру, что и число $2^{10}$, нам нужно найти закономерность в последних цифрах степеней двойки.

Выпишем последние цифры для первых нескольких степеней числа 2:

• $2^1 = 2$
• $2^2 = 4$
• $2^3 = 8$
• $2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
• $2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
• $2^6 = 64$ (оканчивается на 4)

Как видно, последние цифры степеней двойки повторяются с циклом из 4 цифр: 2, 4, 8, 6. Это означает, что последняя цифра числа $2^n$ (где $n$ — натуральное число) зависит от остатка от деления показателя степени $n$ на 4.

• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 1 ($n=4k+1$), то последняя цифра — 2.
• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 2 ($n=4k+2$), то последняя цифра — 4.
• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 3 ($n=4k+3$), то последняя цифра — 8.
• Если $n$ делится на 4 без остатка ($n=4k$), то последняя цифра — 6.

Сначала определим последнюю цифру для числа $2^{10}$. Для этого найдем остаток от деления 10 на 4:

$10 = 4 \cdot 2 + 2$.

Остаток равен 2. Следовательно, число $2^{10}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^2$, то есть на 4. (Для проверки: $2^{10} = 1024$).

Теперь нам нужно найти, какое из предложенных чисел также оканчивается на 4. Для этого мы ищем число, показатель степени которого при делении на 4 также дает остаток 2.

• Для числа $2^{100}$: $100 \div 4 = 25$ с остатком 0. Последняя цифра будет 6.
• Для числа $2^{101}$: $101 \div 4 = 25$ с остатком 1. Последняя цифра будет 2.
• Для числа $2^{102}$: $102 \div 4 = 25$ с остатком 2. Последняя цифра будет 4.
• Для числа $2^{103}$: $103 \div 4 = 25$ с остатком 3. Последняя цифра будет 8.

Сравнив результаты, мы видим, что только число $2^{102}$ оканчивается на цифру 4, так же как и число $2^{10}$.

Ответ: $2^{102}$.