Номер 109, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Последняя цифра степени. Глава 1. Дроби и проценты - номер 109, страница 36.

109 Какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7? Какой цифрой оканчивается число: $7^{40}$; $7^{61}$; $7^{30}$; $7^{23}$?

Чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7, найдем закономерность в их последних цифрах, рассмотрев несколько первых степеней:

• $7^1 = 7$ (оканчивается на 7)
• $7^2 = 49$ (оканчивается на 9)
• $7^3 = 343$ (оканчивается на 3)
• $7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)
• $7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)

Последние цифры степеней числа 7 циклически повторяются с периодом 4: последовательность 7, 9, 3, 1. Таким образом, последняя цифра степени $7^n$ определяется остатком от деления показателя $n$ на 4.

• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 1 (например, $n=1, 5, 9, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 7.
• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 2 (например, $n=2, 6, 10, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 9.
• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 3 (например, $n=3, 7, 11, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 3.
• Если показатель степени $n$ делится на 4 без остатка (например, $n=4, 8, 12, \dots$), то число $7^n$ оканчивается на 1.

Следовательно, степени числа 7 могут оканчиваться только цифрами из этого цикла.
Ответ: 1, 3, 7, 9.

Теперь, используя эту закономерность, определим последнюю цифру для каждого из указанных чисел.

$7^{40}$

Найдем остаток от деления показателя степени 40 на 4.
$40 \div 4 = 10$ с остатком 0.
Так как показатель делится на 4 без остатка, последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Ответ: 1.

$7^{61}$

Найдем остаток от деления показателя степени 61 на 4.
$61 = 60 + 1 = 4 \times 15 + 1$. Остаток равен 1.
Последняя цифра будет такой же, как у $7^1$, то есть 7.
Ответ: 7.

$7^{30}$

Найдем остаток от деления показателя степени 30 на 4.
$30 = 28 + 2 = 4 \times 7 + 2$. Остаток равен 2.
Последняя цифра будет такой же, как у $7^2$, то есть 9.
Ответ: 9.

$7^{23}$

Найдем остаток от деления показателя степени 23 на 4.
$23 = 20 + 3 = 4 \times 5 + 3$. Остаток равен 3.
Последняя цифра будет такой же, как у $7^3$, то есть 3.
Ответ: 3.