Номер 114, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Последняя цифра степени. Глава 1. Дроби и проценты - номер 114, страница 37.

114 Делится ли на 10: сумма $11^{14} + 3^{22}$; разность $7^{20} - 9^{10}$; произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$?

Чтобы определить, делится ли число на 10, достаточно проверить, оканчивается ли оно на 0. Для этого найдем последнюю цифру каждого из заданных выражений.

сумма $11^{14} + 3^{22}$

Найдем последнюю цифру каждого слагаемого.
1. Последняя цифра любой натуральной степени числа, оканчивающегося на 1, всегда равна 1. Следовательно, последняя цифра числа $11^{14}$ равна 1.
2. Найдем последнюю цифру числа $3^{22}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
Последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру $3^{22}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 22 на 4.
$22 \div 4 = 5$ (остаток 2).
Остаток 2 означает, что последняя цифра числа $3^{22}$ будет такой же, как у второго числа в цикле, то есть 9.
3. Теперь найдем последнюю цифру суммы. Она равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых:
$1 + 9 = 10$.
Сумма оканчивается на 0. Следовательно, она делится на 10.
Ответ: да, делится.

разность $7^{20} - 9^{10}$

Найдем последнюю цифру уменьшаемого и вычитаемого.
1. Найдем последнюю цифру числа $7^{20}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (оканчивается на 9)
$7^3 = 343$ (оканчивается на 3)
$7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)
$7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)
Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы найти последнюю цифру $7^{20}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 20 на 4.
$20 \div 4 = 5$ (остаток 0).
Если остаток равен 0, то последняя цифра совпадает с последней цифрой $7^4$, то есть равна 1.
2. Найдем последнюю цифру числа $9^{10}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 9:
$9^1 = 9$
$9^2 = 81$ (оканчивается на 1)
$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)
Последние цифры степеней числа 9 повторяются с циклом длиной 2: (9, 1). Для четных степеней последняя цифра 1, для нечетных — 9. Так как 10 — четное число, последняя цифра числа $9^{10}$ равна 1.
3. Теперь найдем последнюю цифру разности. Она равна последней цифре разности последних цифр уменьшаемого и вычитаемого:
$1 - 1 = 0$.
Разность оканчивается на 0. Следовательно, она делится на 10.
Ответ: да, делится.

произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$

Число делится на 10, если оно одновременно делится на 2 и на 5.
1. Рассмотрим первый множитель $12^{15}$. Основание 12 — четное число. Любая натуральная степень четного числа является четным числом, то есть делится на 2. Значит, $12^{15}$ делится на 2.
2. Рассмотрим второй множитель $15^{12}$. Основание 15 оканчивается на 5. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5, то есть делится на 5. Значит, $15^{12}$ делится на 5.
3. Поскольку один из множителей произведения ($12^{15}$) делится на 2, а другой множитель ($15^{12}$) делится на 5, то все произведение делится и на 2, и на 5.
Следовательно, произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$ делится на $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: да, делится.