Страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

113 Сформулируйте условие, при котором числа $4^m$ и $4^n$, где $m \in N, n \in N, m \neq n$, оканчиваются одной и той же цифрой.

Чтобы определить условие, при котором числа $4^m$ и $4^n$ оканчиваются на одну и ту же цифру, проанализируем, как меняется последняя цифра степеней числа 4.

Рассмотрим несколько первых натуральных степеней числа 4 и их последние цифры:

• $4^1 = 4$
• $4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
• $4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
• $4^4 = 256$ (оканчивается на 6)
• $4^5 = 1024$ (оканчивается на 4)

Из этого ряда видно, что последняя цифра степеней числа 4 циклически повторяется с периодом 2. А именно:

• Если показатель степени — нечетное число ($k = 1, 3, 5, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на цифру 4.
• Если показатель степени — четное число ($k = 2, 4, 6, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на цифру 6.

Следовательно, числа $4^m$ и $4^n$ будут оканчиваться одной и той же цифрой в двух случаях:

1. Оба числа оканчиваются на 4. Это произойдет, если оба показателя степени, $m$ и $n$, являются нечетными числами.
2. Оба числа оканчиваются на 6. Это произойдет, если оба показателя степени, $m$ и $n$, являются четными числами.

Таким образом, для того чтобы числа $4^m$ и $4^n$ (где $m, n \in \mathbb{N}$, $m \neq n$) оканчивались на одну и ту же цифру, необходимо и достаточно, чтобы показатели степеней $m$ и $n$ имели одинаковую четность.

Математически это условие можно записать как $m \equiv n \pmod{2}$, что означает, что числа $m$ и $n$ дают одинаковый остаток при делении на 2. Это эквивалентно тому, что их разность $(m-n)$ является четным числом.

Ответ: Числа $4^m$ и $4^n$ оканчиваются одной и той же цифрой при условии, что показатели степеней $m$ и $n$ имеют одинаковую четность, то есть либо оба являются четными, либо оба являются нечетными.

114 Делится ли на 10: сумма $11^{14} + 3^{22}$; разность $7^{20} - 9^{10}$; произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$?

Чтобы определить, делится ли число на 10, достаточно проверить, оканчивается ли оно на 0. Для этого найдем последнюю цифру каждого из заданных выражений.

сумма $11^{14} + 3^{22}$

Найдем последнюю цифру каждого слагаемого.
1. Последняя цифра любой натуральной степени числа, оканчивающегося на 1, всегда равна 1. Следовательно, последняя цифра числа $11^{14}$ равна 1.
2. Найдем последнюю цифру числа $3^{22}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
Последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру $3^{22}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 22 на 4.
$22 \div 4 = 5$ (остаток 2).
Остаток 2 означает, что последняя цифра числа $3^{22}$ будет такой же, как у второго числа в цикле, то есть 9.
3. Теперь найдем последнюю цифру суммы. Она равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых:
$1 + 9 = 10$.
Сумма оканчивается на 0. Следовательно, она делится на 10.
Ответ: да, делится.

разность $7^{20} - 9^{10}$

Найдем последнюю цифру уменьшаемого и вычитаемого.
1. Найдем последнюю цифру числа $7^{20}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (оканчивается на 9)
$7^3 = 343$ (оканчивается на 3)
$7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)
$7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)
Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы найти последнюю цифру $7^{20}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 20 на 4.
$20 \div 4 = 5$ (остаток 0).
Если остаток равен 0, то последняя цифра совпадает с последней цифрой $7^4$, то есть равна 1.
2. Найдем последнюю цифру числа $9^{10}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 9:
$9^1 = 9$
$9^2 = 81$ (оканчивается на 1)
$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)
Последние цифры степеней числа 9 повторяются с циклом длиной 2: (9, 1). Для четных степеней последняя цифра 1, для нечетных — 9. Так как 10 — четное число, последняя цифра числа $9^{10}$ равна 1.
3. Теперь найдем последнюю цифру разности. Она равна последней цифре разности последних цифр уменьшаемого и вычитаемого:
$1 - 1 = 0$.
Разность оканчивается на 0. Следовательно, она делится на 10.
Ответ: да, делится.

произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$

Число делится на 10, если оно одновременно делится на 2 и на 5.
1. Рассмотрим первый множитель $12^{15}$. Основание 12 — четное число. Любая натуральная степень четного числа является четным числом, то есть делится на 2. Значит, $12^{15}$ делится на 2.
2. Рассмотрим второй множитель $15^{12}$. Основание 15 оканчивается на 5. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5, то есть делится на 5. Значит, $15^{12}$ делится на 5.
3. Поскольку один из множителей произведения ($12^{15}$) делится на 2, а другой множитель ($15^{12}$) делится на 5, то все произведение делится и на 2, и на 5.
Следовательно, произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$ делится на $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: да, делится.

115 Вычислите:

а) $0,8 + \left(-\frac{5}{6}\right)$;

б) $-\frac{1}{50} + 1,37$;

в) $-7,11 - \frac{1}{2}$;

г) $\frac{2}{3} - 0,8$;

д) $-\frac{2}{7} \cdot 1,4$;

е) $-0,24 \cdot \left(-\frac{3}{16}\right)$;

ж) $4,2 : \left(-\frac{6}{7}\right)$;

з) $0,16 : 2\frac{2}{5}$;

и) $3\frac{1}{5} : 0,64$.

а)

Чтобы вычислить $0,8 + (-\frac{5}{6})$, сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную. $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{4}{5} + (-\frac{5}{6}) = \frac{4}{5} - \frac{5}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 6 - это 30. $\frac{4}{5} - \frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{24}{30} - \frac{25}{30} = \frac{24 - 25}{30} = -\frac{1}{30}$.

Ответ: $-\frac{1}{30}$.

б)

Чтобы вычислить $-\frac{1}{50} + 1,37$, удобнее преобразовать обыкновенную дробь в десятичную. $-\frac{1}{50} = -\frac{1 \cdot 2}{50 \cdot 2} = -\frac{2}{100} = -0,02$. Теперь выполним сложение: $-0,02 + 1,37 = 1,37 - 0,02 = 1,35$.

Ответ: $1,35$.

в)

Чтобы вычислить $-7,11 - \frac{1}{2}$, преобразуем обыкновенную дробь в десятичную. $\frac{1}{2} = 0,5$. Теперь выполним вычитание: $-7,11 - 0,5 = -7,61$.

Ответ: $-7,61$.

г)

Чтобы вычислить $\frac{2}{3} - 0,8$, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную. $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Выражение принимает вид: $\frac{2}{3} - \frac{4}{5}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 - это 15. $\frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{12}{15} = \frac{10 - 12}{15} = -\frac{2}{15}$.

Ответ: $-\frac{2}{15}$.

д)

Чтобы вычислить $-\frac{2}{7} \cdot 1,4$, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную. $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$. Теперь выполним умножение: $-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{5} = -\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 5}$. Сократим дробь на 7: $-\frac{2}{5} = -0,4$.

Ответ: $-0,4$.

е)

Чтобы вычислить $-0,24 \cdot (-\frac{3}{16})$, сначала определим знак произведения. Произведение двух отрицательных чисел положительно. $0,24 \cdot \frac{3}{16}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$. Теперь выполним умножение: $\frac{6}{25} \cdot \frac{3}{16} = \frac{6 \cdot 3}{25 \cdot 16} = \frac{18}{400}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{18}{400} = \frac{9}{200}$. Можно перевести в десятичную дробь: $\frac{9}{200} = \frac{4,5}{1000} = 0,045$.

Ответ: $0,045$.

ж)

Чтобы вычислить $4,2 : (-\frac{6}{7})$, сначала определим знак частного. Частное от деления положительного числа на отрицательное отрицательно. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$. Выполним деление: $\frac{21}{5} : (-\frac{6}{7}) = -(\frac{21}{5} : \frac{6}{7}) = -(\frac{21}{5} \cdot \frac{7}{6})$. Сократим дроби перед умножением (21 и 6 на 3): $-(\frac{7}{5} \cdot \frac{7}{2}) = -\frac{7 \cdot 7}{5 \cdot 2} = -\frac{49}{10} = -4,9$.

Ответ: $-4,9$.

з)

Чтобы вычислить $0,16 : 2\frac{2}{5}$, преобразуем оба числа в обыкновенные дроби. $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$. $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$. Выполним деление: $\frac{4}{25} : \frac{12}{5} = \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{12}$. Сократим дроби перед умножением (4 и 12 на 4, 5 и 25 на 5): $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$.

и)

Чтобы вычислить $3\frac{1}{5} : 0,64$, преобразуем оба числа в обыкновенные дроби. $3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$. $0,64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$. Выполним деление: $\frac{16}{5} : \frac{16}{25} = \frac{16}{5} \cdot \frac{25}{16}$. Сократим дроби на 16: $\frac{1}{5} \cdot \frac{25}{1} = \frac{25}{5} = 5$.

Ответ: $5$.

116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел, меньших 10, а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел, меньших 10. Сократите по-лученную дробь и сравните её с дробью $\frac{1}{3}$.

Согласно условию задачи, в числитель дроби запишем произведение всех натуральных чётных чисел, меньших 10, а в знаменатель — произведение всех натуральных нечётных чисел, меньших 10.

Натуральные чётные числа, меньшие 10: 2, 4, 6, 8.
Их произведение: $2 \times 4 \times 6 \times 8 = 384$.

Натуральные нечётные числа, меньшие 10: 1, 3, 5, 7, 9.
Их произведение: $1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 = 945$.

Таким образом, исходная дробь: $$ \frac{384}{945} $$

Сократите полученную дробь

Чтобы сократить дробь $ \frac{384}{945} $, найдём наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Для этого разложим числа 384 и 945 на простые множители.

$384 = 2 \times 192 = 2 \times 2 \times 96 = 2^3 \times 48 = 2^4 \times 24 = 2^5 \times 12 = 2^6 \times 6 = 2^7 \times 3$

$945 = 3 \times 315 = 3 \times 3 \times 105 = 3^3 \times 35 = 3^3 \times 5 \times 7$

Единственный общий простой множитель — это 3. Следовательно, НОД(384, 945) = 3.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $$ \frac{384 \div 3}{945 \div 3} = \frac{128}{315} $$ Полученная дробь $ \frac{128}{315} $ является несократимой, так как у чисел 128 ($2^7$) и 315 ($3^3 \times 5 \times 7$) нет общих простых множителей.

Ответ: $ \frac{128}{315} $.

и сравните её с дробью $ \frac{1}{3} $

Нам нужно сравнить дроби $ \frac{128}{315} $ и $ \frac{1}{3} $.

Для этого приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель — 315.
Найдём дополнительный множитель для дроби $ \frac{1}{3} $: $315 \div 3 = 105$.

Приведём дробь $ \frac{1}{3} $ к знаменателю 315: $$ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 105}{3 \times 105} = \frac{105}{315} $$

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{128}{315} $ и $ \frac{105}{315} $.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Так как $128 > 105$, то $ \frac{128}{315} > \frac{105}{315} $.

Следовательно, $ \frac{128}{315} > \frac{1}{3} $.

Ответ: полученная дробь $ \frac{128}{315} $ больше, чем дробь $ \frac{1}{3} $.

117 Сравните дроби:

а) $ \frac{1,4 \cdot 6 \cdot 0,28}{0,24 \cdot 0,2 \cdot 21} $ и $ \frac{6,9 \cdot 9,6 \cdot 0,05}{4 \cdot 0,36} $;

б) $ \frac{1,5 \cdot 0,084}{0,18 \cdot 3,6} $ и $ \frac{0,27 \cdot 0,05}{0,062 \cdot 0,75} $.

а)

Чтобы сравнить дроби $\frac{1.4 \cdot 6 \cdot 0.28}{0.24 \cdot 0.2 \cdot 21}$ и $\frac{6.9 \cdot 9.6 \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36}$, мы сначала упростим каждую из них.

1. Упростим первую дробь. Чтобы избавиться от десятичных знаков, умножим числитель и знаменатель на 1000 (так как $1.4$ имеет один знак после запятой, $0.28$ — два, $0.24$ — два и $0.2$ — один, общее число знаков в числителе и знаменателе совпадает и равно 3): $\frac{1.4 \cdot 6 \cdot 0.28}{0.24 \cdot 0.2 \cdot 21} = \frac{1.4 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 0.28 \cdot 100}{0.24 \cdot 100 \cdot 0.2 \cdot 10 \cdot 21} = \frac{14 \cdot 6 \cdot 28}{24 \cdot 2 \cdot 21}$. Теперь выполним сокращение: $\frac{14 \cdot 6 \cdot 28}{24 \cdot 2 \cdot 21} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot 6 \cdot 28}{(4 \cdot 6) \cdot 2 \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{28}{4 \cdot 3} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.

2. Упростим вторую дробь: $\frac{6.9 \cdot 9.6 \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36}$. Выполним сокращение, разделив $9.6$ на $4$: $\frac{6.9 \cdot (2.4 \cdot 4) \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36} = \frac{6.9 \cdot 2.4 \cdot 0.05}{0.36}$. Теперь вычислим произведение в числителе: $2.4 \cdot 0.05 = 0.12$. Получаем: $\frac{6.9 \cdot 0.12}{0.36}$. Сократим дробь $\frac{0.12}{0.36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$. Окончательно: $6.9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6.9}{3} = 2.3$.

3. Сравним полученные результаты: $\frac{7}{3}$ и $2.3$. Преобразуем $2.3$ в обыкновенную дробь: $2.3 = \frac{23}{10}$. Теперь сравним $\frac{7}{3}$ и $\frac{23}{10}$. Для этого приведем их к общему знаменателю $30$: $\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{70}{30}$. $\frac{23}{10} = \frac{23 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{69}{30}$. Так как $70 > 69$, то $\frac{70}{30} > \frac{69}{30}$, а значит $\frac{7}{3} > 2.3$.

Ответ: $\frac{1.4 \cdot 6 \cdot 0.28}{0.24 \cdot 0.2 \cdot 21} > \frac{6.9 \cdot 9.6 \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36}$.

б)

Чтобы сравнить дроби $\frac{1.5 \cdot 0.084}{0.18 \cdot 3.6}$ и $\frac{0.27 \cdot 0.05}{0.062 \cdot 0.75}$, мы также упростим каждую из них.

1. Упростим первую дробь, сгруппировав множители для удобства: $\frac{1.5 \cdot 0.084}{0.18 \cdot 3.6} = \frac{1.5}{0.18} \cdot \frac{0.084}{3.6}$. Упростим каждую из полученных дробей: $\frac{1.5}{0.18} = \frac{150}{18} = \frac{25 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{25}{3}$. $\frac{0.084}{3.6} = \frac{84}{3600} = \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 300} = \frac{7}{300}$. Теперь перемножим результаты: $\frac{25}{3} \cdot \frac{7}{300} = \frac{25 \cdot 7}{3 \cdot (12 \cdot 25)} = \frac{7}{3 \cdot 12} = \frac{7}{36}$.

2. Упростим вторую дробь, используя тот же метод группировки: $\frac{0.27 \cdot 0.05}{0.062 \cdot 0.75} = \frac{0.27}{0.75} \cdot \frac{0.05}{0.062}$. Упростим каждую из дробей: $\frac{0.27}{0.75} = \frac{27}{75} = \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 25} = \frac{9}{25}$. $\frac{0.05}{0.062} = \frac{50}{62} = \frac{25}{31}$. Перемножим результаты: $\frac{9}{25} \cdot \frac{25}{31} = \frac{9}{31}$.

3. Сравним полученные дроби: $\frac{7}{36}$ и $\frac{9}{31}$. Для сравнения дробей используем перекрестное умножение. Сравним произведения $7 \cdot 31$ и $9 \cdot 36$. $7 \cdot 31 = 217$. $9 \cdot 36 = 324$. Так как $217 < 324$, то $\frac{7}{36} < \frac{9}{31}$.

Ответ: $\frac{1.5 \cdot 0.084}{0.18 \cdot 3.6} < \frac{0.27 \cdot 0.05}{0.062 \cdot 0.75}$.

118 Вычислите:

а) $ \frac{2,8 : 2 \frac{4}{5} \cdot 2 \frac{2}{3}}{1,6 : 1,3} $;

б) $ \frac{1,8 : 1 \frac{1}{5} \cdot 0,12}{0,27 : \frac{2}{7}} $.

а)

Для решения выражения $\frac{2,8 : 2\frac{4}{5} \cdot 2\frac{2}{3}}{1,6 : 1,3}$ необходимо последовательно выполнить действия в числителе и знаменателе, предварительно преобразовав все числа в обыкновенные дроби.

Преобразуем числа:

• $2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$
• $2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$
• $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
• $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
• $1,3 = \frac{13}{10}$

1. Вычислим значение числителя:

$2,8 : 2\frac{4}{5} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{14}{5} : \frac{14}{5} \cdot \frac{8}{3} = (\frac{14}{5} \cdot \frac{5}{14}) \cdot \frac{8}{3} = 1 \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

2. Вычислим значение знаменателя:

$1,6 : 1,3 = \frac{8}{5} : \frac{13}{10} = \frac{8}{5} \cdot \frac{10}{13} = \frac{8 \cdot 10}{5 \cdot 13} = \frac{8 \cdot 2}{13} = \frac{16}{13}$

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:

$\frac{8/3}{16/13} = \frac{8}{3} : \frac{16}{13} = \frac{8}{3} \cdot \frac{13}{16} = \frac{8 \cdot 13}{3 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 13}{3 \cdot 2} = \frac{13}{6}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$.

Ответ: $2\frac{1}{6}$.

б)

Для решения выражения $\frac{1,8 : 1\frac{1}{5} \cdot 0,12}{0,27 : \frac{2}{7}}$ также преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

Преобразуем числа:

• $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
• $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
• $0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$
• $0,27 = \frac{27}{100}$

1. Вычислим значение числителя:

$1,8 : 1\frac{1}{5} \cdot 0,12 = \frac{9}{5} : \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{25} = (\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{6}) \cdot \frac{3}{25} = \frac{9}{6} \cdot \frac{3}{25} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{25} = \frac{9}{50}$

2. Вычислим значение знаменателя:

$0,27 : \frac{2}{7} = \frac{27}{100} : \frac{2}{7} = \frac{27}{100} \cdot \frac{7}{2} = \frac{189}{200}$

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:

$\frac{9/50}{189/200} = \frac{9}{50} : \frac{189}{200} = \frac{9}{50} \cdot \frac{200}{189}$

Сократим дроби перед умножением: $200$ и $50$ на $50$, $189$ и $9$ на $9$.

$\frac{9}{50} \cdot \frac{200}{189} = \frac{9 \cdot 200}{50 \cdot 189} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 21} = \frac{4}{21}$

Ответ: $\frac{4}{21}$.

119 Вычислите и запишите ответ в виде десятичной дроби:

а) $\frac{\frac{4,5}{10,5} + \frac{10,5}{4,5}}{\frac{4,5}{10,5} - \frac{10,5}{4,5}}$

б) $\frac{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} + \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} - \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}$

a)

Рассмотрим выражение $\frac{\frac{4,5}{10,5} + \frac{10,5}{4,5}}{\frac{4,5}{10,5} - \frac{10,5}{4,5}}$.

Можно заметить, что это выражение имеет вид $\frac{A + B}{A - B}$, где $A = \frac{4,5}{10,5}$ и $B = \frac{10,5}{4,5}$.

Для упрощения введем обозначения $x = 4,5$ и $y = 10,5$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Приведем к общему знаменателю дроби в числителе и знаменателе основного выражения.

Числитель: $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

Знаменатель: $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{x^2 + y^2}{xy}}{\frac{x^2 - y^2}{xy}} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

Теперь подставим числовые значения $x=4,5$ и $y=10,5$.

$x^2 = 4,5^2 = 20,25$

$y^2 = 10,5^2 = 110,25$

Подставим значения квадратов в упрощенное выражение:

$\frac{20,25 + 110,25}{20,25 - 110,25} = \frac{130,5}{-90}$

Выполним деление, чтобы получить десятичную дробь:

$\frac{130,5}{-90} = -1,45$

Ответ: -1,45

б)

Рассмотрим выражение $\frac{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} + \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} - \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}$.

Для упрощения сначала вычислим значения выражений в числителях и знаменателях внутренних дробей. Обозначим $x = 0,5 - 1$ и $y = 0,5 + 1$.

$x = 0,5 - 1 = -0,5$

$y = 0,5 + 1 = 1,5$

Теперь выражение можно переписать в виде:

$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Это выражение аналогично выражению из пункта а), и его можно упростить до вида:

$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

Теперь вычислим квадраты $x$ и $y$:

$x^2 = (-0,5)^2 = 0,25$

$y^2 = (1,5)^2 = 2,25$

Подставим полученные значения в упрощенное выражение:

$\frac{0,25 + 2,25}{0,25 - 2,25} = \frac{2,5}{-2}$

Выполним деление:

$\frac{2,5}{-2} = -1,25$

Ответ: -1,25

120 Найдите значение выражения:

а) $\frac{70,2 \cdot 0,5}{9 \cdot 1\frac{1}{2}} - \frac{2,4 \cdot 10,8}{4 \cdot 1\frac{4}{5}} - \frac{1,4 \cdot 16,2}{3 \cdot 1\frac{1}{5}}$

б) $\frac{\frac{8}{15} \cdot 1\frac{9}{16}}{1,5} + \frac{1\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{5}}{1,6} + \frac{2\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{16}}{1,8}.$

a) $ \frac{70.2 \cdot 0.5}{9 \cdot 1\frac{1}{2}} - \frac{2.4 \cdot 10.8}{4 \cdot 1\frac{4}{5}} - \frac{1.4 \cdot 16.2}{3 \cdot 1\frac{1}{5}} $

Для решения данного выражения, вычислим значение каждой дроби по отдельности, а затем выполним вычитание.

1. Вычислим значение первой дроби. Преобразуем смешанную дробь в десятичную: $ 1\frac{1}{2} = 1.5 $.
$ \frac{70.2 \cdot 0.5}{9 \cdot 1\frac{1}{2}} = \frac{35.1}{9 \cdot 1.5} = \frac{35.1}{13.5} $
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем сократим:
$ \frac{351}{135} = \frac{351 \div 27}{135 \div 27} = \frac{13}{5} = 2.6 $

2. Вычислим значение второй дроби. Преобразуем смешанную дробь в десятичную: $ 1\frac{4}{5} = 1.8 $.
$ \frac{2.4 \cdot 10.8}{4 \cdot 1\frac{4}{5}} = \frac{2.4 \cdot 10.8}{4 \cdot 1.8} = \frac{25.92}{7.2} $
Можно упростить вычисление, сократив дроби:
$ \frac{2.4}{4} \cdot \frac{10.8}{1.8} = 0.6 \cdot 6 = 3.6 $

3. Вычислим значение третьей дроби. Преобразуем смешанную дробь в десятичную: $ 1\frac{1}{5} = 1.2 $.
$ \frac{1.4 \cdot 16.2}{3 \cdot 1\frac{1}{5}} = \frac{1.4 \cdot 16.2}{3 \cdot 1.2} = \frac{22.68}{3.6} $
Разделим $16.2$ на $3.6$: $ \frac{16.2}{3.6} = \frac{162}{36} = 4.5 $. Тогда:
$ 1.4 \cdot 4.5 = 6.3 $

4. Теперь выполним вычитание полученных значений:
$ 2.6 - 3.6 - 6.3 = -1 - 6.3 = -7.3 $

Ответ: $-7.3$

б) $ \frac{\frac{8}{15} \cdot 1\frac{9}{16}}{1.5} + \frac{1\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{5}}{1.6} + \frac{2\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{16}}{1.8} $

Для решения этого выражения, вычислим значение каждого слагаемого, предварительно преобразовав все смешанные и десятичные дроби в обыкновенные.

1. Вычислим значение первого слагаемого:
$ 1\frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} $; $ 1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} $.
$ \frac{\frac{8}{15} \cdot \frac{25}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{8 \cdot 25}{15 \cdot 16}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} $

2. Вычислим значение второго слагаемого:
$ 1\frac{1}{9} = \frac{9+1}{9} = \frac{10}{9} $; $ 1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} $.
$ \frac{\frac{10}{9} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{\frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 5}}{\frac{8}{5}} = \frac{\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}}{\frac{8}{5}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{5}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} $

3. Вычислим значение третьего слагаемого:
$ 2\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2 + 2}{3} = \frac{8}{3} $; $ 1.8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} $.
$ \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{16}}{\frac{9}{5}} = \frac{\frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 16}}{\frac{9}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{5}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{18} $

4. Сложим полученные дроби. Наименьший общий знаменатель для 9, 12 и 18 равен 36.
$ \frac{5}{9} + \frac{5}{12} + \frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 4}{36} + \frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{5 \cdot 2}{36} = \frac{20}{36} + \frac{15}{36} + \frac{10}{36} = \frac{20+15+10}{36} = \frac{45}{36} $
Сократим полученную дробь:
$ \frac{45}{36} = \frac{45 \div 9}{36 \div 9} = \frac{5}{4} $

Ответ: $\frac{5}{4}$

121 Вычислите значение выражения при a = 1,5, b = 0,7, c = -0,5:

а) $\frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a}$

б) $\frac{(b-a)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

а)

Для вычисления значения выражения $\frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a}$ подставим заданные значения $a = 1,5$, $b = 0,7$ и $c = -0,5$.

Сначала вычислим значение каждого слагаемого отдельно.

1. Первое слагаемое: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1,5 - 0,7}{1,5 + 0,7} = \frac{0,8}{2,2}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{0,8 \cdot 10}{2,2 \cdot 10} = \frac{8}{22}$
Сократим дробь на 2:
$\frac{8 \div 2}{22 \div 2} = \frac{4}{11}$

2. Второе слагаемое:
$\frac{b-c}{b+c} = \frac{0,7 - (-0,5)}{0,7 + (-0,5)} = \frac{0,7 + 0,5}{0,7 - 0,5} = \frac{1,2}{0,2}$
$\frac{1,2 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{12}{2} = 6$

3. Третье слагаемое:
$\frac{c-a}{c+a} = \frac{-0,5 - 1,5}{-0,5 + 1,5} = \frac{-2}{1} = -2$

Теперь сложим полученные результаты:
$\frac{4}{11} + 6 + (-2) = \frac{4}{11} + 4 = 4\frac{4}{11}$
Переведем в неправильную дробь:
$4\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{44 + 4}{11} = \frac{48}{11}$

Ответ: $\frac{48}{11}$.

б)

Для вычисления значения выражения $\frac{(b-a)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ подставим те же значения: $a = 1,5$, $b = 0,7$ и $c = -0,5$.

Воспользуемся промежуточными вычислениями из пункта а), а также найдем недостающие значения.

Вычислим значения множителей в числителе:
$b - a = 0,7 - 1,5 = -0,8$
$b - c = 0,7 - (-0,5) = 1,2$ (как в пункте а)
$c - a = -0,5 - 1,5 = -2$ (как в пункте а)

Вычислим произведение в числителе:
$(-0,8) \cdot 1,2 \cdot (-2) = (-0,96) \cdot (-2) = 1,92$

Вычислим значения множителей в знаменателе:
$a + b = 1,5 + 0,7 = 2,2$ (как в пункте а)
$b + c = 0,7 + (-0,5) = 0,2$ (как в пункте а)
$c + a = -0,5 + 1,5 = 1$ (как в пункте а)

Вычислим произведение в знаменателе:
$2,2 \cdot 0,2 \cdot 1 = 0,44$

Теперь найдем значение всего выражения, разделив результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{1,92}{0,44}$
Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$\frac{1,92 \cdot 100}{0,44 \cdot 100} = \frac{192}{44}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 192 и 44 равен 4.
$\frac{192 \div 4}{44 \div 4} = \frac{48}{11}$

Ответ: $\frac{48}{11}$.