Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

101 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) В течение четверти Лена получила следующие отметки по алгебре: три двойки, две тройки, четыре четвёрки и одну пятёрку. Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок. Какую из этих характеристик Лена предпочла бы использовать при выставлении четвертной отметки?

2) Учитель выставляет четвертную отметку по среднему арифметическому ряда отметок. До конца четверти ещё две контрольные работы. Может ли Лена улучшить четвертную отметку? Какие отметки ей достаточно получить за эти контрольные работы?

1) Для начала составим ряд отметок, которые получила Лена: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5.
Найдем среднее арифметическое этого ряда. Сначала вычислим общее количество отметок: $3 + 2 + 4 + 1 = 10$.
Затем найдем сумму всех отметок: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 6 + 6 + 16 + 5 = 33$.
Среднее арифметическое ($C_a$) равно отношению суммы отметок к их количеству:
$C_a = \frac{33}{10} = 3.3$
Теперь найдем моду ряда отметок. Мода — это значение, которое встречается в ряду чаще всего.
Отметка «4» встречается 4 раза, что чаще, чем любая другая отметка. Следовательно, мода данного ряда равна 4.
Сравнивая среднее арифметическое (3,3) и моду (4), Лена, очевидно, предпочла бы, чтобы учитель использовал моду для выставления четвертной отметки. В этом случае она получила бы «4», в то время как среднее арифметическое 3,3, скорее всего, будет округлено до «3».
Ответ: Среднее арифметическое ряда отметок равно 3,3, а мода равна 4. Лена предпочла бы использовать моду, так как это позволило бы ей получить более высокую оценку за четверть («4» вместо «3»).

2) Учитель выставляет отметку по среднему арифметическому. Текущий средний балл Лены — 3,3, что соответствует отметке «3» за четверть. Чтобы улучшить отметку до «4», средний балл должен быть не ниже 3,5 (по стандартным правилам округления).
У Лены впереди еще две контрольные работы. Обозначим оценки за них как $x$ и $y$.
После получения двух новых отметок общее количество отметок станет $10 + 2 = 12$.
Сумма всех отметок станет $33 + x + y$.
Чтобы новый средний балл был не меньше 3,5, должно выполняться неравенство:
$\frac{33 + x + y}{12} \ge 3.5$
Решим это неравенство:
$33 + x + y \ge 3.5 \cdot 12$
$33 + x + y \ge 42$
$x + y \ge 42 - 33$
$x + y \ge 9$
Следовательно, сумма двух отметок за контрольные работы должна быть не меньше 9. Рассмотрим, какие комбинации оценок это позволяют:

• Две «4»: $4+4=8$. Недостаточно.
• Одна «4» и одна «5»: $4+5=9$. Достаточно. Новый средний балл: $\frac{33+9}{12} = \frac{42}{12} = 3.5$.
• Две «5»: $5+5=10$. Достаточно. Новый средний балл: $\frac{33+10}{12} = \frac{43}{12} \approx 3.58$.

Таким образом, Лена может улучшить свою четвертную отметку.
Ответ: Да, Лена может улучшить четвертную отметку с «3» на «4». Для этого ей достаточно получить за две контрольные работы оценки, сумма которых не меньше 9. Это могут быть комбинации «4» и «5» или «5» и «5».

102 В таблице представлены результаты контрольной работы по геометрии в 7 классе.

Найдите моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе.

Мода ряда отметок

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В данном случае нам нужно найти отметку, которую получило наибольшее количество учеников.

Анализируя данные из таблицы, мы видим, что:
- отметку «2» получили 4 ученика;
- отметку «3» получили 8 учеников;
- отметку «4» получили 12 учеников;
- отметку «5» получили 6 учеников.
Наибольшая частота (12 учеников) соответствует отметке «4». Следовательно, мода данного ряда отметок равна 4.

Ответ: 4.

Средний результат по контрольной работе

Средний результат (или среднее арифметическое) вычисляется как отношение суммы всех полученных отметок к общему числу учеников.

1. Сначала найдем общее количество учеников, писавших контрольную работу. Для этого сложим количество учеников, получивших каждую из отметок:
$4 + 8 + 12 + 6 = 30$ учеников.

2. Затем вычислим общую сумму всех отметок. Для этого умножим каждую отметку на соответствующее ей число учеников и сложим полученные произведения:
$S_{отметок} = (2 \cdot 4) + (3 \cdot 8) + (4 \cdot 12) + (5 \cdot 6) = 8 + 24 + 48 + 30 = 110$.

3. Теперь найдем средний результат, разделив общую сумму отметок на общее число учеников:
Средний результат = $\frac{Сумма \space всех \space отметок}{Общее \space число \space учеников} = \frac{110}{30} = \frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3}$.

Для удобства можно представить результат в виде десятичной дроби, округлив до сотых: $3 \frac{2}{3} \approx 3,67$.

Ответ: $3 \frac{2}{3}$.

103 В таблице представлены данные о количестве детей в семьях города.

Найдите среднее число детей в семье и моду (количество детей в наиболее типичной семье). (Используйте калькулятор.)

Среднее число детей в семье

Чтобы найти среднее число детей в семье, необходимо вычислить среднее арифметическое взвешенное. Для этого нужно общее количество детей во всех семьях разделить на общее количество семей.

1. Сначала найдем общее количество семей, сложив значения из второй строки таблицы: $ N = 255 + 320 + 210 + 80 + 18 + 6 + 1 = 890 \text{ семей} $

2. Затем вычислим общее количество детей. Для этого умножим каждое значение числа детей на соответствующее ему число семей и сложим полученные результаты: $ \text{Всего детей} = (0 \cdot 255) + (1 \cdot 320) + (2 \cdot 210) + (3 \cdot 80) + (4 \cdot 18) + (5 \cdot 6) + (6 \cdot 1) $ $ \text{Всего детей} = 0 + 320 + 420 + 240 + 72 + 30 + 6 = 1088 \text{ детей} $

3. Теперь разделим общее количество детей на общее количество семей, чтобы найти среднее значение: $ \text{Среднее} = \frac{1088}{890} \approx 1.2224... $

Округлим результат до сотых.

Ответ: Среднее число детей в семье примерно равно 1,22.

Мода

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В контексте задачи, это количество детей, которое имеется у наибольшего числа семей.

Посмотрев на строку "Число семей" в таблице, мы ищем наибольшее значение. Это значение — 320.

Смотрим, какому количеству детей соответствует это число семей. В столбце над числом 320 стоит 1. Следовательно, наиболее "типичной" является семья с одним ребенком.

Ответ: Мода равна 1.

104 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Завуч школы подвела итоги контрольной работы по алгебре в седьмых классах и представила результаты на круговой диаграмме (рис. 1.12). Найдите моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе.

«5»

«4»

«3»

«2»

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: найти моду и средний результат на основе данных, представленных на круговой диаграмме.

Найдите моду ряда отметок

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В случае круговой диаграммы моде соответствует самый большой сектор, так как он представляет наибольшую долю от общего числа.

Анализируя диаграмму, мы видим, что сектор, соответствующий отметке «4» (очень светло-голубой), является самым большим. Он занимает ровно половину круга. Следовательно, отметка «4» была получена чаще всего.

Ответ: Мода ряда отметок равна 4.

Найдите средний результат по контрольной работе

Средний результат (или среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех отметок, деленная на их количество. Для данных, представленных в виде долей на диаграмме, мы можем найти средневзвешенное значение. Сначала определим долю каждой отметки.

• Отметка «4»: Сектор занимает половину круга, что составляет $1/2$ или 50% всех результатов.
• Отметка «5»: Сектор (светло-голубой) занимает четверть круга, что составляет $1/4$ или 25% всех результатов.
• Отметки «3» и «2»: Оставшиеся два сектора вместе занимают последнюю четверть круга ($1/4$). Визуально сектор «3» (светло-серый) в два раза больше сектора «2» (темно-серый). Если их общая доля $1/4$, то логично предположить, что они делят ее в отношении 2:1. Таким образом, доля отметки «3» составляет $ \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $, а доля отметки «2» составляет $ \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12} $.
  Проверим: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1 $. Распределение долей верное.

Теперь вычислим средний результат как средневзвешенное значение:

$ \text{Средний балл} = (\text{отметка} \times \text{ее доля}) + \dots $

$ \text{Средний балл} = (5 \times \frac{1}{4}) + (4 \times \frac{1}{2}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{12}) $

Выполним вычисления:

$ = \frac{5}{4} + \frac{4}{2} + \frac{3}{6} + \frac{2}{12} = \frac{5}{4} + 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ = \frac{5 \times 3}{12} + \frac{2 \times 12}{12} + \frac{1 \times 6}{12} + \frac{1 \times 2}{12} = \frac{15}{12} + \frac{24}{12} + \frac{6}{12} + \frac{2}{12} $

Сложим числители:

$ = \frac{15 + 24 + 6 + 2}{12} = \frac{47}{12} $

Результат можно представить в виде смешанной дроби или десятичного числа:

$ \frac{47}{12} = 3 \frac{11}{12} \approx 3,92 $

Ответ: Средний результат по контрольной работе равен $3 \frac{11}{12}$ (или приблизительно 3,92).

105 Столбчатая диаграмма, изображённая на рисунке 1.13, показывает, сколько книг прочитал каждый из ребят за летние каникулы. Рис. 1.12

а) Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда данных.

б) Оцените по этим данным, какое приблизительно количество книг прочитали за лето все ученики этой школы, если всего их 1200 человек.

Число книг

12

10

8

6

4

2

0

Аня

Витя

Игорь

Оля

Петя

Катя

Лена

Саша

Рис. 1.13

а) Сначала определим количество книг, прочитанных каждым учеником, на основе данных столбчатой диаграммы.
Аня: 8 книг
Витя: 10 книг
Игорь: 8 книг
Оля: 1 книга
Петя: 0 книг
Катя: 8 книг
Лена: 5 книг
Саша: 3 книги
Таким образом, мы получаем следующий ряд данных: {8, 10, 8, 1, 0, 8, 5, 3}. В этом ряду 8 значений.

Теперь найдем среднее арифметическое этого ряда. Для этого необходимо сложить все значения ряда и разделить полученную сумму на их количество.
Сумма всех значений: $8 + 10 + 8 + 1 + 0 + 8 + 5 + 3 = 43$.
Количество значений в ряду: 8.
Среднее арифметическое: $\frac{43}{8} = 5,375$.

Далее найдем моду этого ряда данных. Мода — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто.
В ряду {8, 10, 8, 1, 0, 8, 5, 3} число 8 встречается три раза, в то время как все остальные числа встречаются только по одному разу.
Следовательно, мода данного ряда равна 8.
Ответ: Среднее арифметическое равно 5,375; мода равна 8.

б) Чтобы оценить приблизительное количество книг, прочитанных всеми 1200 учениками школы, мы будем использовать среднее арифметическое значение, найденное в пункте а). Это значение представляет собой среднее количество книг, прочитанных одним учеником из выборки. Мы можем предположить, что ученики всей школы в среднем читают столько же.
Среднее количество книг на одного ученика: 5,375.
Общее количество учеников в школе: 1200.
Чтобы найти общее количество книг, умножим среднее значение на общее число учеников:
$5,375 \times 1200 = 6450$.
Таким образом, можно предположить, что все ученики школы прочитали за лето около 6450 книг.
Ответ: Приблизительно 6450 книг.