Страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

83 a) Летом на дачу с детским садом выехало 180 детей. Известно, что $10\%$ детей не поехало на дачу. Сколько всего детей в детском саду?

б) Когда 78 пассажиров заняли в самолёте свои места, остались свободными $40\%$ всех мест. Сколько пассажиров вмещает самолёт?

а)

Пусть $x$ – общее количество детей в детском саду, что составляет $100\%$.
Из условия известно, что $10\%$ детей не поехало на дачу. Следовательно, процент детей, которые поехали на дачу, составляет разницу:
$100\% - 10\% = 90\%$
Эти $90\%$ и есть 180 детей, которые выехали на дачу.
Чтобы найти общее количество детей (т.е. $100\%$), можно составить пропорцию:
180 детей — $90\%$
$x$ детей — $100\%$
Решим пропорцию относительно $x$:
$x = \frac{180 \cdot 100}{90}$
$x = \frac{18000}{90} = 200$
Таким образом, всего в детском саду 200 детей.

Ответ: 200 детей.

б)

Пусть $y$ – общее количество пассажирских мест в самолёте, что составляет $100\%$.
По условию, после того как 78 пассажиров заняли свои места, свободными остались $40\%$ всех мест.
Значит, процент занятых мест равен:
$100\% - 40\% = 60\%$
Эти $60\%$ и есть 78 занятых мест.
Чтобы найти, сколько всего пассажиров вмещает самолёт (т.е. $100\%$), составим пропорцию:
78 пассажиров — $60\%$
$y$ пассажиров — $100\%$
Решим пропорцию относительно $y$:
$y = \frac{78 \cdot 100}{60}$
$y = \frac{7800}{60} = \frac{780}{6} = 130$
Следовательно, самолёт вмещает 130 пассажиров.

Ответ: 130 пассажиров.

84 Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%?

Для решения этой задачи необходимо определить, какое количество соли содержится в исходном растворе, и затем использовать это значение для расчета нового объема раствора с пониженной концентрацией соли.

1. Сначала найдем массу соли в 40 кг морской воды.

Исходная масса раствора: 40 кг.
Концентрация соли: 5%, что в виде десятичной дроби равно $0.05$.
Масса соли в растворе вычисляется по формуле: $m_{\text{соли}} = m_{\text{раствора}} \times \text{концентрация}$

$m_{\text{соли}} = 40 \text{ кг} \times 0.05 = 2 \text{ кг}$.

Таким образом, в 40 кг морской воды содержится 2 кг соли.

2. Теперь определим, сколько пресной воды нужно добавить.

При добавлении пресной воды (которая не содержит соли), масса соли в смеси не изменяется и остается равной 2 кг. Изменяется общая масса смеси и, как следствие, процентное содержание соли.

Пусть $x$ — это масса пресной воды (в кг), которую нужно добавить.

Новая общая масса смеси будет равна: $40 + x$ кг.
Новая требуемая концентрация соли: 2%, или $0.02$.

Мы можем составить уравнение, связывающее массу соли, новую общую массу и новую концентрацию: $\frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{новой смеси}}} = \text{новая концентрация}$

Подставим известные значения: $\frac{2}{40 + x} = 0.02$

3. Решим полученное уравнение относительно $x$.

$2 = 0.02 \times (40 + x)$
$2 = 0.02 \times 40 + 0.02x$
$2 = 0.8 + 0.02x$
$2 - 0.8 = 0.02x$
$1.2 = 0.02x$
$x = \frac{1.2}{0.02}$
$x = 60$

Следовательно, чтобы содержание соли в смеси составило 2%, необходимо добавить 60 кг пресной воды.

Ответ: 60 кг.

85 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Имеется творог двух сортов: жирный содержит $20\%$ жира, а нежирный содержит $5\%$ жира. Определите процент жирности полученного творога, если смешали:

а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога;

б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Для решения задачи необходимо найти общую массу жира в смеси и разделить ее на общую массу смеси, после чего умножить результат на 100%, чтобы получить процентное содержание жира.

а)
1. Сначала найдем массу жира, содержащуюся в 2 кг жирного творога. Жирность этого творога составляет 20%, или 0,20 в долях.
$m_{жира1} = 2 \text{ кг} \cdot 20\% = 2 \cdot 0.20 = 0.4 \text{ кг}$
2. Затем найдем массу жира, содержащуюся в 3 кг нежирного творога. Жирность этого творога составляет 5%, или 0,05 в долях.
$m_{жира2} = 3 \text{ кг} \cdot 5\% = 3 \cdot 0.05 = 0.15 \text{ кг}$
3. Найдем общую массу жира в полученной смеси, сложив массу жира из обоих сортов творога.
$m_{жира\_общ} = 0.4 \text{ кг} + 0.15 \text{ кг} = 0.55 \text{ кг}$
4. Найдем общую массу смеси.
$m_{смеси} = 2 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$
5. Теперь определим процент жирности полученной смеси.
$\text{Процент жирности} = \frac{m_{жира\_общ}}{m_{смеси}} \cdot 100\% = \frac{0.55}{5} \cdot 100\% = 0.11 \cdot 100\% = 11\%$
Ответ: 11%.

б)
1. Найдем массу жира, содержащуюся в 3 кг жирного творога (20% жирности).
$m_{жира1} = 3 \text{ кг} \cdot 20\% = 3 \cdot 0.20 = 0.6 \text{ кг}$
2. Найдем массу жира, содержащуюся в 2 кг нежирного творога (5% жирности).
$m_{жира2} = 2 \text{ кг} \cdot 5\% = 2 \cdot 0.05 = 0.1 \text{ кг}$
3. Найдем общую массу жира в полученной смеси.
$m_{жира\_общ} = 0.6 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг} = 0.7 \text{ кг}$
4. Найдем общую массу смеси.
$m_{смеси} = 3 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$
5. Определим процент жирности полученной смеси.
$\text{Процент жирности} = \frac{m_{жира\_общ}}{m_{смеси}} \cdot 100\% = \frac{0.7}{5} \cdot 100\% = 0.14 \cdot 100\% = 14\%$
Ответ: 14%.

86 a) В голосовании на выборах в окружную администрацию приняло участие $65\%$ избирателей округа, $40\%$ из них проголосовало за кандидата А. Сколько процентов избирателей данного округа отдало голоса за этого кандидата?

б) Легковые автомобили составляют $60\%$ всего транспорта автопарка, $90\%$ из них — автомобили, выпущенные в России, причём $50\%$ из них — автомобили ВАЗ. Какой процент автомобилей всего автопарка составляют автомобили ВАЗ?

а) Для решения этой задачи необходимо найти процент от процента. Общее количество избирателей округа принимаем за 100%.

1. В голосовании приняли участие 65% избирателей. В виде десятичной дроби это $0.65$.

2. За кандидата А проголосовало 40% от числа принявших участие в голосовании. В виде десятичной дроби это $0.40$.

3. Чтобы найти, какой процент от общего числа избирателей проголосовал за кандидата А, нужно перемножить эти доли:

$0.65 \times 0.40 = 0.26$

4. Теперь переведем полученную долю в проценты, умножив ее на 100:

$0.26 \times 100\% = 26\%$

Таким образом, 26% всех избирателей округа отдали свои голоса за кандидата А.

Ответ: 26%

б) Эта задача решается аналогично, путем последовательного нахождения части от части. Весь транспорт автопарка принимаем за 100%.

1. Доля легковых автомобилей в автопарке составляет 60%, или $0.60$.

2. Доля автомобилей, выпущенных в России, среди легковых автомобилей составляет 90%, или $0.90$.

3. Доля автомобилей ВАЗ среди выпущенных в России составляет 50%, или $0.50$.

4. Чтобы найти, какой процент от всего автопарка составляют автомобили ВАЗ, нужно перемножить все эти доли:

$0.60 \times 0.90 \times 0.50 = 0.54 \times 0.50 = 0.27$

5. Переведем полученное значение в проценты:

$0.27 \times 100\% = 27\%$

Следовательно, автомобили ВАЗ составляют 27% всего автопарка.

Ответ: 27%

87 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

В одной из газет автор заметки писал о скидках, к которым прибегают в магазинах перед большими праздниками. Продавцы заранее увеличивают цены на 20%, а потом делают большую праздничную скидку на 30%. По мнению автора, скидка фактически составляет всего лишь 10%. А сколько она составляет на самом деле?

Автор заметки в газете совершает распространенную ошибку, вычитая проценты, которые были рассчитаны от разных базовых величин. Скидка в 30% применяется не к исходной цене, а к цене, уже увеличенной на 20%. Чтобы найти фактическую скидку, необходимо последовательно рассчитать все изменения цены.

Допустим, первоначальная цена товара равна $x$.

1. Увеличение цены на 20%
Сначала цену увеличивают на 20%. Новая цена становится равной 120% от первоначальной: $x + x \times 0.20 = 1.2x$.

2. Применение праздничной скидки в 30%
Затем от этой новой, увеличенной цены ($1.2x$) делают скидку 30%. Это значит, что итоговая цена составит $100\% - 30\% = 70\%$ от увеличенной цены. Рассчитаем итоговую цену: $1.2x \times 0.70 = 0.84x$.

3. Расчет итоговой скидки
Чтобы найти фактическую скидку, нужно сравнить итоговую цену ($0.84x$) с первоначальной ($x$). Итоговая цена составляет 84% от первоначальной. Следовательно, общее снижение цены (скидка) по отношению к первоначальной цене составляет: $100\% - 84\% = 16\%$.

Также можно рассчитать абсолютное изменение цены: $x - 0.84x = 0.16x$. Чтобы выразить это в процентах, разделим изменение на первоначальную цену: $\frac{0.16x}{x} \times 100\% = 16\%$.

Таким образом, реальная скидка для покупателя по отношению к первоначальной цене составляет 16%, а не 10%, как ошибочно полагал автор заметки.

Ответ: 16%.

88 а) Автомобиль прошёл $40\%$ пути, а затем $30\%$ оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему осталось пройти?

б) Перед поездкой бак автомобиля был заполнен на $80\%$. Во время поездки было истрачено $25\%$ имевшегося запаса бензина. На сколько процентов был заполнен бензином бак к концу поездки?

а)

Примем весь путь за 100%.

1. Сначала автомобиль прошёл 40% пути. Найдём, сколько процентов пути осталось пройти:
$100\% - 40\% = 60\%$

2. Затем автомобиль прошёл 30% от оставшегося расстояния. Найдём, сколько это составляет от всего пути. Для этого нужно найти 30% от 60%:
$0.30 \times 60\% = 18\%$
Таким образом, второй участок пути составил 18% от всего расстояния.

3. Теперь найдём, какую общую часть пути в процентах прошёл автомобиль:
$40\% + 18\% = 58\%$

4. Чтобы найти, сколько процентов всего пути осталось пройти, вычтем пройденную часть из 100%:
$100\% - 58\% = 42\%$

Ответ: автомобилю осталось пройти 42% всего пути.

б)

Примем полный объём бака за 100%.

1. Перед поездкой в баке было 80% бензина от его полного объёма.

2. Во время поездки было истрачено 25% от имевшегося запаса. Найдём, сколько это составляет в процентах от полного бака. Для этого нужно найти 25% от 80%:
$0.25 \times 80\% = 20\%$
Это означает, что было истрачено 20% от полного объёма бака.

3. Чтобы узнать, на сколько процентов был заполнен бак к концу поездки, вычтем истраченный бензин из начального количества (всё в процентах от полного бака):
$80\% - 20\% = 60\%$

Ответ: к концу поездки бак был заполнен на 60%.