Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя, обратившись к таблице во фрагменте 1, можете ли вы бегло назвать обыкновенные дроби, соответствующие процентам: 10%, 20%, 25%, 50%, 75%.

Чтобы перевести проценты в обыкновенную дробь, необходимо представить проценты как часть от 100. Это означает, что число процентов становится числителем, а 100 — знаменателем. После этого дробь следует сократить до простейшего вида.

10%
Записываем 10% в виде дроби: $10\% = \frac{10}{100}$.
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 10:
$\frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$
Ответ: $\frac{1}{10}$

20%
Записываем 20% в виде дроби: $20\% = \frac{20}{100}$.
Сокращаем дробь на 20:
$\frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

25%
Записываем 25% в виде дроби: $25\% = \frac{25}{100}$.
25% — это четверть. Сокращаем дробь на 25:
$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

50%
Записываем 50% в виде дроби: $50\% = \frac{50}{100}$.
50% — это половина. Сокращаем дробь на 50:
$\frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

75%
Записываем 75% в виде дроби: $75\% = \frac{75}{100}$.
75% — это три четверти. Сокращаем дробь на 25:
$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

Объясните, как находят несколько процентов от величины (задача 1). Найдите 33% от 300 р.

Объясните, как находят несколько процентов от величины

Процент — это одна сотая часть ($ \frac{1}{100} $) от какой-либо величины. Чтобы найти заданное количество процентов от числа или величины, можно действовать одним из следующих способов.

Способ 1: Через перевод процентов в дробь
1. Представить проценты в виде десятичной дроби. Для этого число процентов нужно разделить на 100. Например, $p\%$ — это десятичная дробь $ \frac{p}{100} $.
2. Умножить исходную величину на эту десятичную дробь.

Способ 2: Через нахождение одного процента
1. Найти, чему равен один процент ($1\%$) от величины. Для этого нужно исходную величину разделить на 100.
2. Умножить полученное значение на требуемое количество процентов.

Ответ: Чтобы найти несколько процентов от величины, нужно представить проценты в виде десятичной дроби (разделить на 100) и умножить исходную величину на полученную дробь. Либо можно разделить величину на 100 (найдя 1%) и результат умножить на искомое число процентов.

Найдите 33% от 300 р.

Решим задачу, используя первый способ.

1. Сначала переведем 33% в десятичную дробь. Для этого разделим 33 на 100:
$ 33\% = \frac{33}{100} = 0.33 $

2. Теперь умножим исходную величину, 300 рублей, на полученную десятичную дробь:
$ 300 \cdot 0.33 = 99 $ р.

Для проверки можно использовать второй способ:
1. Найдем 1% от 300 р.:
$ \frac{300}{100} = 3 $ р.
2. Умножим полученное значение на 33:
$ 3 \cdot 33 = 99 $ р.
Результаты совпадают.

Ответ: 99 р.

Объясните, как находят величину по известным её процентам (задача 2).

Найдите стоимость товара, если его 7% составляют 140 р.

Объясните, как находят величину по известным её процентам (задача 2).

Нахождение величины по известным её процентам — это одна из основных задач на проценты, где требуется найти целое (100%) по его части. Существует два основных способа решения.

Способ 1: Через нахождение значения одного процента.

Этот способ состоит из двух шагов. Сначала находят, какая величина приходится на 1%. Для этого известное значение (часть) делят на соответствующее ему число процентов. Затем, чтобы найти всю величину (100%), полученный результат умножают на 100.

Если известно, что $p\%$ от некоторой величины равны $A$, то:

1. Находим 1%: $A \div p$.

2. Находим 100%: $(A \div p) \times 100$.

Способ 2: Через перевод процентов в дробь.

Чтобы найти число по его проценту, можно сначала представить проценты в виде десятичной или обыкновенной дроби. Для этого число процентов делят на 100. Например, $p\% = \frac{p}{100}$. Затем, чтобы найти исходную величину, нужно известное значение (часть) разделить на эту дробь.

Формула для нахождения целого $X$ по его части $A$, которая составляет $p\%$, выглядит так: $X = A \div \frac{p}{100}$ или $X = \frac{A \times 100}{p}$.

Ответ: Чтобы найти величину по известным её процентам, нужно известное значение разделить на количество процентов и результат умножить на 100, либо перевести проценты в десятичную дробь и разделить известное значение на эту дробь.

Найдите стоимость товара, если его 7% составляют 140 р.

В этой задаче нам известна часть стоимости товара (140 р.) и какой процент от полной стоимости она составляет (7%). Нам нужно найти полную стоимость (100%). Решим задачу двумя способами.

Способ 1: Через десятичную дробь.

1. Переведем 7% в десятичную дробь:

$7\% = \frac{7}{100} = 0.07$

2. Теперь разделим известную часть стоимости на эту дробь, чтобы найти полную стоимость:

Полная стоимость $= \frac{140}{0.07}$

Чтобы выполнить деление, можно умножить и делимое, и делитель на 100:

$\frac{140 \times 100}{0.07 \times 100} = \frac{14000}{7} = 2000$ р.

Способ 2: Через нахождение значения 1%.

1. Если 7% от стоимости — это 140 рублей, то найдем, сколько составляет 1% стоимости:

$1\% = 140 \text{ р.} \div 7 = 20 \text{ р.}$

2. Полная стоимость — это 100%. Умножим стоимость одного процента на 100:

Полная стоимость $= 20 \text{ р.} \times 100 = 2000 \text{ р.}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2000 р.

Стоимость книги, цена которой 300 р., повысилась на 20%. Как найти новую стоимость книги? Предложите разные способы (задача 3).

Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1: Поэтапное вычисление

Этот способ заключается в том, чтобы сначала найти, сколько рублей составляют 20% от первоначальной цены, а затем прибавить эту сумму к исходной стоимости.

1. Находим 20% от 300 рублей. Для этого умножаем цену на долю, которую составляют проценты:

$300 \cdot \frac{20}{100} = 300 \cdot 0.2 = 60$ рублей.

2. Теперь прибавляем полученную сумму к первоначальной цене книги, чтобы найти новую стоимость:

$300 + 60 = 360$ рублей.

Ответ: новая стоимость книги — 360 рублей.

Способ 2: Использование коэффициента

Этот способ позволяет найти ответ в одно действие. Первоначальная цена составляет 100%. После повышения на 20% новая цена будет составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от старой.

1. Переведем 120% в десятичный коэффициент, разделив на 100:

$120\% = \frac{120}{100} = 1.2$

2. Умножим первоначальную цену на этот коэффициент, чтобы сразу получить итоговую стоимость:

$300 \cdot 1.2 = 360$ рублей.

Ответ: новая стоимость книги — 360 рублей.

Способ 3: Решение через пропорцию

Можно составить пропорцию, где первоначальная цена — это 100%, а новая цена (обозначим ее за $x$) — это 120%.

1. Составляем пропорцию:

300 рублей — 100%

$x$ рублей — 120%

2. Записываем уравнение из пропорции и решаем его:

$\frac{300}{100} = \frac{x}{120}$

Чтобы найти $x$, нужно умножить известные члены пропорции, стоящие по диагонали, и разделить на оставшийся член:

$x = \frac{300 \cdot 120}{100} = 3 \cdot 120 = 360$ рублей.

Ответ: новая стоимость книги — 360 рублей.

Расскажите, как решить задачу: «Товар, стоивший 200 р., стал продаваться за 150 р. На сколько процентов была снижена цена товара?» (задача 4).

Для решения данной задачи необходимо найти, на какую сумму была снижена цена, а затем вычислить, какой процент эта сумма составляет от первоначальной стоимости товара.

1. Сначала найдем разницу между первоначальной и новой ценой, чтобы определить величину скидки в рублях.

Первоначальная цена = 200 р.

Новая цена = 150 р.

Величина скидки = $200 - 150 = 50$ р.

2. Теперь нужно определить, какую часть составляет скидка от первоначальной цены. Для этого разделим величину скидки на первоначальную цену. Первоначальная цена (200 р.) принимается за 100%.

Доля скидки от первоначальной цены = $\frac{\text{Величина скидки}}{\text{Первоначальная цена}} = \frac{50}{200}$

3. Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим полученный результат на 100%.

Процент снижения цены = $\frac{50}{200} \cdot 100\%$

Выполним вычисления:

$\frac{50}{200} = 0.25$

$0.25 \cdot 100\% = 25\%$

Таким образом, цена товара была снижена на 25%.

Ответ: 25%.

69 а) Части городского бюджета, предназначенные для нужд города, выражаются следующими десятичными дробями: 0,04; 0,27; 0,3; 0,255; 0,0006. Выразите эти десятичные дроби в процентах.

б) На выборах в областную администрацию пять кандидатов на одно место получили соответственно 63%, 25%, 10,5%, 0,93% и 0,57% голосов избирателей. Выразите эти проценты десятичными дробями.

а) Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, необходимо умножить ее на 100 и добавить знак процента (%). Это правило основано на том, что 1% является одной сотой частью целого ($1\% = 0,01$).

Выполним преобразования для данных дробей:

$0,04 \cdot 100\% = 4\%$

$0,27 \cdot 100\% = 27\%$

$0,3 \cdot 100\% = 30\%$

$0,255 \cdot 100\% = 25,5\%$

$0,0006 \cdot 100\% = 0,06\%$

Ответ: 4%; 27%; 30%; 25,5%; 0,06%.

б) Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, необходимо число процентов разделить на 100 (при этом знак % убирается). Это действие, обратное предыдущему.

Выполним преобразования для данных процентных значений:

$63\% = \frac{63}{100} = 0,63$

$25\% = \frac{25}{100} = 0,25$

$10,5\% = \frac{10,5}{100} = 0,105$

$0,93\% = \frac{0,93}{100} = 0,0093$

$0,57\% = \frac{0,57}{100} = 0,0057$

Ответ: 0,63; 0,25; 0,105; 0,0093; 0,0057.

70 На диаграмме (рис. 1.7) представлены результаты опроса «Для чего вы покупаете велосипед?». Найдите недостающие на диаграмме данные и вычислите, сколько человек дали каждый из ответов, если было опрошено 5600 человек.

Недостающие данные:

Сумма известных процентов: $27\% + 13\% + 53\% = 93\%$.

Недостающий процент: $100\% - 93\% = 7\%$.

Этот процент соответствует категории «для загородных экскурсий».

Расчет количества опрошенных:

Кататься: $5600 \times 0.27 = 1512$ человек.

Ездить на даче / за покупками: $5600 \times 0.13 = 728$ человек.

Для загородных экскурсий: $5600 \times 0.07 = 392$ человека.

Хороший способ сбросить вес: $5600 \times 0.53 = 2968$ человек.

Рис. 1.7

Кальций $4\%$

Фосфор $4\%$

Магний $1.6\%$

Железо $0.07\%$

Цинк $0.06\%$

Сначала найдем недостающие на диаграмме данные. Сумма всех процентных долей в круговой диаграмме равна 100%. Сложим известные доли, представленные на диаграмме:

$27\% + 13\% + 53\% = 93\%$

Теперь найдем долю, которая не указана на диаграмме, вычтя полученную сумму из 100%:

$100\% - 93\% = 7\%$

Недостающие данные — это 7%. Теперь, зная, что всего было опрошено 5600 человек, вычислим, сколько человек дали каждый из ответов. Для сектора в 7% будем использовать вариант ответа «за покупками», указанный в списке.

кататься
Этот ответ выбрали 27% опрошенных. Рассчитаем количество человек:
$5600 \cdot \frac{27}{100} = 56 \cdot 27 = 1512$ человек.
Ответ: 1512 человек.

ездить на даче
Этот ответ выбрали 13% опрошенных. Рассчитаем количество человек:
$5600 \cdot \frac{13}{100} = 56 \cdot 13 = 728$ человек.
Ответ: 728 человек.

хороший способ сбросить вес
Этот ответ выбрали 53% опрошенных. Рассчитаем количество человек:
$5600 \cdot \frac{53}{100} = 56 \cdot 53 = 2968$ человек.
Ответ: 2968 человек.

за покупками
Этот ответ соответствует недостающей доле в 7%. Рассчитаем количество человек:
$5600 \cdot \frac{7}{100} = 56 \cdot 7 = 392$ человека.
Ответ: 392 человека.

71 В состав одного из поливитаминов входят минералы в следующих количествах: кальций и фосфор — по 4%, магний — 1,6%, железо — 0,07%, цинк — 0,06%. Сколько миллиграммов каждого минерала содержится в одной таблетке поливитамина, масса которой 250 мг?

Чтобы найти, сколько миллиграммов каждого минерала содержится в одной таблетке, нужно вычислить соответствующий процент от общей массы таблетки, которая составляет 250 мг. Для этого мы будем переводить проценты в десятичную дробь и умножать на общую массу.

кальций
Содержание кальция составляет 4% от массы таблетки. Чтобы найти массу кальция, умножим общую массу на долю, соответствующую 4%.
$4\% = \frac{4}{100} = 0,04$
Масса кальция: $250 \text{ мг} \times 0,04 = 10 \text{ мг}$.
Ответ: 10 мг.

фосфор
Содержание фосфора также составляет 4% от массы таблетки. Расчет аналогичен расчету для кальция.
$4\% = \frac{4}{100} = 0,04$
Масса фосфора: $250 \text{ мг} \times 0,04 = 10 \text{ мг}$.
Ответ: 10 мг.

магний
Содержание магния составляет 1,6% от массы таблетки.
$1,6\% = \frac{1,6}{100} = 0,016$
Масса магния: $250 \text{ мг} \times 0,016 = 4 \text{ мг}$.
Ответ: 4 мг.

железо
Содержание железа составляет 0,07% от массы таблетки.
$0,07\% = \frac{0,07}{100} = 0,0007$
Масса железа: $250 \text{ мг} \times 0,0007 = 0,175 \text{ мг}$.
Ответ: 0,175 мг.

цинк
Содержание цинка составляет 0,06% от массы таблетки.
$0,06\% = \frac{0,06}{100} = 0,0006$
Масса цинка: $250 \text{ мг} \times 0,0006 = 0,15 \text{ мг}$.
Ответ: 0,15 мг.