Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

54 Представьте в виде степени с основанием 10 следующие числа:

a) 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; 1 000 000;

б) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001.

а) Чтобы представить целое число, состоящее из единицы и следующими за ней нулями, в виде степени с основанием 10, нужно посчитать количество нулей в этом числе. Полученное количество будет показателем степени, в которую нужно возвести основание 10.

$10$ — в этом числе один ноль, значит, степень равна 1.
$10 = 10^1$.

$100$ — в этом числе два нуля, значит, степень равна 2.
$100 = 10 \times 10 = 10^2$.

$1000$ — в этом числе три нуля, значит, степень равна 3.
$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$.

$10 \ 000$ — в этом числе четыре нуля, значит, степень равна 4.
$10 \ 000 = 10^4$.

$100 \ 000$ — в этом числе пять нулей, значит, степень равна 5.
$100 \ 000 = 10^5$.

$1 \ 000 \ 000$ — в этом числе шесть нулей, значит, степень равна 6.
$1 \ 000 \ 000 = 10^6$.

Ответ: $10^1; 10^2; 10^3; 10^4; 10^5; 10^6$.

б) Чтобы представить десятичную дробь, в которой после запятой стоят нули и одна единица в конце, в виде степени с основанием 10, нужно посчитать общее количество цифр после запятой. Это число будет показателем степени, но со знаком "минус". Это следует из свойства степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$0,1$ — одна цифра после запятой, значит, степень равна -1.
$0,1 = \frac{1}{10} = \frac{1}{10^1} = 10^{-1}$.

$0,01$ — две цифры после запятой, значит, степень равна -2.
$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.

$0,001$ — три цифры после запятой, значит, степень равна -3.
$0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.

$0,0001$ — четыре цифры после запятой, значит, степень равна -4.
$0,0001 = \frac{1}{10 \ 000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

$0,00001$ — пять цифр после запятой, значит, степень равна -5.
$0,00001 = \frac{1}{100 \ 000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5}$.

$0,000001$ — шесть цифр после запятой, значит, степень равна -6.
$0,000001 = \frac{1}{1 \ 000 \ 000} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6}$.

Ответ: $10^{-1}; 10^{-2}; 10^{-3}; 10^{-4}; 10^{-5}; 10^{-6}$.

55 Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

а) 213 475;

б) 3 552 312;

в) 24 015;

г) 345 700.

Образец. $38 232 = 3 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 2$.

а) Для того чтобы представить число 213 475 в виде суммы разрядных слагаемых, нужно каждую его цифру умножить на соответствующий ей разряд.
Цифра 2 соответствует разряду сотен тысяч ($10^5$), 1 – десяткам тысяч ($10^4$), 3 – тысячам ($10^3$), 4 – сотням ($10^2$), 7 – десяткам, а 5 – единицам.
Сложив полученные значения, получаем итоговую сумму.
Ответ: $213~475 = 2 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10 + 5$.

б) Аналогично разложим число 3 552 312.
3 – разряд миллионов ($10^6$), 5 – сотен тысяч ($10^5$), 5 – десятков тысяч ($10^4$), 2 – тысяч ($10^3$), 3 – сотен ($10^2$), 1 – десятков, 2 – единиц.
Сумма разрядных слагаемых для этого числа:
Ответ: $3~552~312 = 3 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 2$.

в) В числе 24 015 в разряде сотен стоит цифра 0. При разложении на слагаемые член, соответствующий этому разряду ($0 \cdot 10^2$), равен нулю, поэтому в итоговой сумме он не записывается.
Разложение для 24 015:
Ответ: $24~015 = 2 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10 + 5$.

г) В числе 345 700 разряды десятков и единиц содержат нули. Поэтому, как и в предыдущем примере, соответствующие слагаемые ($0 \cdot 10$ и 0) в сумме отсутствуют.
Разложение для 345 700:
Ответ: $345~700 = 3 \cdot 10^5 + 4 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2$.

56 Используя степени числа 10, запишите, сколько в 1 км

метров;

сантиметров;

миллиметров.

метров

Чтобы выразить количество метров в одном километре через степень числа 10, вспомним основное соотношение единиц длины: в 1 километре содержится 1000 метров.

Число 1000 можно представить как произведение трех множителей, равных 10: $1000 = 10 \times 10 \times 10$.

В виде степени это записывается как $10^3$.

Следовательно, 1 километр равен $10^3$ метров.

Ответ: 1 км = $10^3$ м.

сантиметров

Для перевода километров в сантиметры сначала переведем километры в метры, а затем метры в сантиметры.

Из предыдущего пункта мы знаем, что 1 км = $10^3$ м. Также известно, что в 1 метре 100 сантиметров. Число 100 можно записать в виде степени числа 10 как $10^2$.

Теперь, чтобы найти количество сантиметров в одном километре, умножим количество метров в километре на количество сантиметров в метре, используя свойства степеней ($a^m \times a^n = a^{m+n}$):

1 км = $10^3 \text{ м} = 10^3 \times (10^2 \text{ см}) = 10^{3+2} \text{ см} = 10^5$ см.

Таким образом, в 1 километре содержится $10^5$ сантиметров.

Ответ: 1 км = $10^5$ см.

миллиметров

Перевод километров в миллиметры выполняется по той же схеме: сначала переводим километры в метры, а затем метры в миллиметры.

Мы знаем, что 1 км = $10^3$ м. В 1 метре содержится 1000 миллиметров. Число 1000 равно $10^3$.

Умножим количество метров в километре на количество миллиметров в метре:

1 км = $10^3 \text{ м} = 10^3 \times (10^3 \text{ мм}) = 10^{3+3} \text{ мм} = 10^6$ мм.

Следовательно, в 1 километре содержится $10^6$ миллиметров.

Ответ: 1 км = $10^6$ мм.

57 Используя степени числа 10, выразите в метрах 1 см; 1 мм; 1 мк (1 мк — один микрон, тысячная доля миллиметра).

1 см

Чтобы выразить 1 сантиметр в метрах, необходимо знать соотношение между этими единицами. В одном метре содержится 100 сантиметров. Это означает, что 1 сантиметр является одной сотой частью метра.
Запишем это в виде дроби: $1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м}$.
Знаменатель дроби, число 100, можно представить как степень числа 10: $100 = 10^2$.
Таким образом, выражение принимает вид: $1 \text{ см} = \frac{1}{10^2} \text{ м}$.
Используя свойство отрицательной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), мы можем переписать дробь как степень с отрицательным показателем:
$1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м}$.
Ответ: $1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м}$.

1 мм

Аналогично, выразим 1 миллиметр в метрах. В одном метре содержится 1000 миллиметров. Следовательно, 1 миллиметр — это одна тысячная часть метра.
Запишем это в виде дроби: $1 \text{ мм} = \frac{1}{1000} \text{ м}$.
Представим число 1000 как степень числа 10: $1000 = 10^3$.
Подставим это в наше равенство: $1 \text{ мм} = \frac{1}{10^3} \text{ м}$.
Применяя свойство отрицательной степени, получаем:
$1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$.
Ответ: $1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$.

1 мк

В условии задачи указано, что 1 микрон (мк) — это тысячная доля миллиметра.
Запишем это соотношение математически: $1 \text{ мк} = \frac{1}{1000} \text{ мм}$.
Используя степень числа 10, это можно выразить как: $1 \text{ мк} = 10^{-3} \text{ мм}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$. Теперь мы можем подставить это значение в выражение для микрона, чтобы перевести его в метры:
$1 \text{ мк} = 10^{-3} \times (1 \text{ мм}) = 10^{-3} \times (10^{-3} \text{ м})$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
$1 \text{ мк} = 10^{-3 + (-3)} \text{ м} = 10^{-6} \text{ м}$.
Ответ: $1 \text{ мк} = 10^{-6} \text{ м}$.

58 Скорость света равна 300 000 км/с.

1) Запишите эту величину с помощью степени числа 10.

2) Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью степени числа 10.

1) Исходное значение скорости света равно 300 000 км/с. Чтобы записать это число с помощью степени числа 10, мы представляем его в стандартном виде. Число 300 000 можно записать как произведение 3 на 100 000. Число 100 000 содержит 5 нулей, что соответствует пятой степени числа 10, то есть $10^5$.

Следовательно, $300\ 000 = 3 \times 100\ 000 = 3 \times 10^5$.

Ответ: $3 \times 10^5$ км/с.

2) Сначала необходимо выразить скорость света в метрах в секунду. Мы знаем, что в одном километре содержится 1000 метров. Число 1000 можно записать как $10^3$.

Чтобы перевести километры в секунду в метры в секунду, нужно умножить значение на 1000:

$300\ 000 \text{ км/с} = 300\ 000 \times 1000 \text{ м/с} = 300\ 000\ 000 \text{ м/с}$.

Теперь запишем полученное число $300\ 000\ 000$ с помощью степени числа 10. В этом числе 8 нулей, поэтому его можно представить как $3 \times 10^8$.

Альтернативный способ расчета с использованием результата из первого пункта:

$3 \times 10^5 \text{ км/с} = (3 \times 10^5) \times 10^3 \text{ м/с} = 3 \times 10^{5+3} \text{ м/с} = 3 \times 10^8 \text{ м/с}$.

Ответ: $3 \times 10^8$ м/с.

59 Запишите величину, указанную в предложении, с помощью на-турального числа или десятичной дроби:

а) расстояние от Земли до Плутона — самой далёкой известнойпланеты Солнечной системы — равно $7,527 \cdot 10^9$ км;

б) расстояние от Земли до звезды Сириус равно $8,19 \cdot 10^{13}$ км;

в) радиус молекулы воды равен $1,4 \cdot 10^{-7}$ мм;

г) диаметр атома водорода равен $9,2 \cdot 10^{-8}$ мм.

а)

Запись $7,527 \cdot 10^9$ означает, что число $7,527$ нужно умножить на $10^9$. Это эквивалентно переносу запятой на 9 знаков вправо. В числе $7,527$ после запятой три знака, значит, нужно дописать $9 - 3 = 6$ нулей.

$7,527 \cdot 10^9 = 7\;527\;000\;000$.

Таким образом, расстояние от Земли до Плутона составляет 7 527 000 000 км.

Ответ: 7 527 000 000 км.

б)

Запись $8,19 \cdot 10^{13}$ означает, что число $8,19$ нужно умножить на $10^{13}$. Для этого перенесем запятую на 13 знаков вправо. В числе $8,19$ после запятой два знака, значит, нужно дописать $13 - 2 = 11$ нулей.

$8,19 \cdot 10^{13} = 81\;900\;000\;000\;000$.

Таким образом, расстояние от Земли до звезды Сириус составляет 81 900 000 000 000 км.

Ответ: 81 900 000 000 000 км.

в)

Запись $1,4 \cdot 10^{-7}$ означает, что число $1,4$ нужно разделить на $10^7$. Это эквивалентно переносу запятой на 7 знаков влево.

$1,4 \cdot 10^{-7} = 0,00000014$.

Таким образом, радиус молекулы воды равен 0,00000014 мм.

Ответ: 0,00000014 мм.

г)

Запись $9,2 \cdot 10^{-8}$ означает, что число $9,2$ нужно разделить на $10^8$. Для этого перенесем запятую на 8 знаков влево.

$9,2 \cdot 10^{-8} = 0,000000092$.

Таким образом, диаметр атома водорода равен 0,000000092 мм.

Ответ: 0,000000092 мм.

60 Из выражений $(3,4 - 2,8)^3$, $-(2,8 - 3,4)^3$, $-(3,4 - 2,8)^3$ выберитете, значения которых противоположны значению выражения$(2,8 - 3,4)^3$; равны ему.

Для решения этой задачи необходимо сравнить значение каждого из трех предложенных выражений со значением исходного выражения $(2{,}8 - 3{,}4)^3$.

Сначала вычислим значение исходного выражения. Обозначим его буквой $A$.
$A = (2{,}8 - 3{,}4)^3$
Выполним вычитание в скобках:
$2{,}8 - 3{,}4 = -0{,}6$
Теперь возведем результат в куб (третью степень). Поскольку степень нечетная, знак минус сохранится:
$A = (-0{,}6)^3 = -0{,}216$

Теперь проанализируем каждое из трех выражений из списка: $(3{,}4 - 2{,}8)^3$, $-(2{,}8 - 3{,}4)^3$ и $-(3{,}4 - 2{,}8)^3$, используя как прямое вычисление, так и алгебраические свойства.

значения которых противоположны значению выражения $(2{,}8 - 3{,}4)^3$

Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Значение, противоположное $A = -0{,}216$, равно $-A = -(-0{,}216) = 0{,}216$. Нам нужно найти выражения, значения которых равны $0{,}216$.

1. Рассмотрим выражение $(3{,}4 - 2{,}8)^3$.
Сначала выполним вычитание: $3{,}4 - 2{,}8 = 0{,}6$.
Затем возведем в куб: $(0{,}6)^3 = 0{,}216$.
Значение этого выражения $0{,}216$ противоположно значению исходного выражения $-0{,}216$.
Также это можно показать через преобразование: $(3{,}4 - 2{,}8) = -(2{,}8 - 3{,}4)$. Так как степень нечетная, то $(3{,}4 - 2{,}8)^3 = (-(2{,}8 - 3{,}4))^3 = (-1)^3 \cdot (2{,}8 - 3{,}4)^3 = -(2{,}8 - 3{,}4)^3$. Это значит, что данное выражение противоположно исходному.

2. Рассмотрим выражение $-(2{,}8 - 3{,}4)^3$.
Это выражение по определению является противоположным выражению $(2{,}8 - 3{,}4)^3$.
Проверим вычислением: $-(2{,}8 - 3{,}4)^3 = -(-0{,}6)^3 = -(-0{,}216) = 0{,}216$.
Значение этого выражения также противоположно исходному.

Таким образом, два выражения имеют значения, противоположные значению исходного выражения.
Ответ: $(3{,}4 - 2{,}8)^3$ и $-(2{,}8 - 3{,}4)^3$.

равны ему

Теперь найдем выражение, значение которого равно значению исходного выражения $A = -0{,}216$.

Мы уже проанализировали первые два выражения: $(3{,}4 - 2{,}8)^3 = 0{,}216$ и $-(2{,}8 - 3{,}4)^3 = 0{,}216$. Оба они не равны $-0{,}216$.

3. Проверим последнее выражение: $-(3{,}4 - 2{,}8)^3$.
Выполним вычитание: $3{,}4 - 2{,}8 = 0{,}6$.
Возведем в куб и учтем знак минус перед скобкой: $-(0{,}6)^3 = -0{,}216$.
Это значение совпадает со значением исходного выражения $A$.
Это также можно показать алгебраически: $A = (2{,}8 - 3{,}4)^3 = (-(3{,}4 - 2{,}8))^3 = (-1)^3 (3{,}4 - 2{,}8)^3 = -(3{,}4 - 2{,}8)^3$.

Следовательно, одно выражение из списка равно исходному.
Ответ: $-(3{,}4 - 2{,}8)^3$.