Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

30 Найдите значение выражения $\frac{a(b-c)}{a-c} + \frac{b(c-a)}{b-a} + \frac{c(a-b)}{c-b}$ при:

а) $a = -3, b = 2, c = -0,5$;

б) $a = -0,5, b = 1, c = -2$.

а)

Для того чтобы найти значение выражения, подставим в него заданные значения $a = -3$, $b = 2$ и $c = -0.5$.

Исходное выражение: $\frac{a(b-c)}{a-c} + \frac{b(c-a)}{b-a} + \frac{c(a-b)}{c-b}$.

Выполним подстановку:

$\frac{-3(2 - (-0.5))}{-3 - (-0.5)} + \frac{2(-0.5 - (-3))}{2 - (-3)} + \frac{-0.5(-3 - 2)}{-0.5 - 2}$

Вычислим значение каждой дроби отдельно:

1. Первая дробь: $\frac{-3(2.5)}{-2.5} = \frac{-7.5}{-2.5} = 3$.

2. Вторая дробь: $\frac{2(2.5)}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

3. Третья дробь: $\frac{-0.5(-5)}{-2.5} = \frac{2.5}{-2.5} = -1$.

Теперь сложим полученные значения:

$3 + 1 + (-1) = 3$.

Ответ: 3

б)

Для того чтобы найти значение выражения, подставим в него заданные значения $a = -0.5$, $b = 1$ и $c = -2$.

Исходное выражение: $\frac{a(b-c)}{a-c} + \frac{b(c-a)}{b-a} + \frac{c(a-b)}{c-b}$.

Выполним подстановку:

$\frac{-0.5(1 - (-2))}{-0.5 - (-2)} + \frac{1(-2 - (-0.5))}{1 - (-0.5)} + \frac{-2(-0.5 - 1)}{-2 - 1}$

Вычислим значение каждой дроби отдельно:

1. Первая дробь: $\frac{-0.5(3)}{1.5} = \frac{-1.5}{1.5} = -1$.

2. Вторая дробь: $\frac{1(-1.5)}{1.5} = \frac{-1.5}{1.5} = -1$.

3. Третья дробь: $\frac{-2(-1.5)}{-3} = \frac{3}{-3} = -1$.

Теперь сложим полученные значения:

$(-1) + (-1) + (-1) = -3$.

Ответ: -3

31 Убедитесь, что при данных значениях x, y, z значение выражения $\frac{x - y}{z - y} + \frac{x - z}{y - z}$ равно 1:

а) $x = 12, y = 4, z = -5;

б) $x = -2,5, y = 2,5, z = 3;

в) $x = 10,5, y = 0,5, z = -6,5.

Для того чтобы убедиться, что значение выражения равно 1, подставим данные значения $x, y, z$ в каждом из случаев.

Исходное выражение: $\frac{x-y}{z-y} + \frac{x-z}{y-z}$

а) Подставим значения $x=12, y=4, z=-5$:

$\frac{12-4}{-5-4} + \frac{12-(-5)}{4-(-5)} = \frac{8}{-9} + \frac{12+5}{4+5} = -\frac{8}{9} + \frac{17}{9}$

Складывая дроби с одинаковым знаменателем, получаем:

$\frac{-8+17}{9} = \frac{9}{9} = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

б) Подставим значения $x=-2,5, y=2,5, z=3$:

$\frac{-2,5-2,5}{3-2,5} + \frac{-2,5-3}{2,5-3} = \frac{-5}{0,5} + \frac{-5,5}{-0,5}$

Вычислим значение каждой дроби и сложим результаты:

$-10 + 11 = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

в) Подставим значения $x=10,5, y=0,5, z=-6,5$:

$\frac{10,5-0,5}{-6,5-0,5} + \frac{10,5-(-6,5)}{0,5-(-6,5)} = \frac{10}{-7} + \frac{10,5+6,5}{0,5+6,5} = -\frac{10}{7} + \frac{17}{7}$

Складывая дроби с одинаковым знаменателем, получаем:

$\frac{-10+17}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

32 На координатной прямой отмечены числа a, b и c (рис. 1.2). Какое из утверждений неверно?

1) $a+c>0$

2) $a-b<0$

3) $a+b>0$

4) $abc<0$

Рис. 1.2

Для решения задачи проанализируем информацию, данную на координатной прямой (рис. 1.2).

• Число a расположено левее нуля, следовательно, a — отрицательное число ($a < 0$).
• Числа b и c расположены правее нуля, следовательно, они — положительные числа ($b > 0$ и $c > 0$).
• По расположению точек относительно нуля можно сравнить их модули (абсолютные величины). Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой.
  • Расстояние от a до 0 больше, чем расстояние от b до 0. Это значит, что $|a| > |b|$. Так как $b > 0$, то $|b|=b$, следовательно, $|a| > b$.
  • Расстояние от c до 0 больше, чем расстояние от a до 0. Это значит, что $|c| > |a|$. Так как $c > 0$, то $|c|=c$, следовательно, $c > |a|$.

Теперь проверим истинность каждого утверждения.

1) a + c > 0

Мы складываем отрицательное число a и положительное число c. Знак их суммы зависит от того, какой из модулей больше. Как мы установили из анализа рисунка, расстояние от c до 0 больше, чем расстояние от a до 0, то есть $c > |a|$. Так как $a$ — отрицательное число, то $|a| = -a$. Неравенство можно записать в виде $c > -a$. Перенеся -a в левую часть, получаем $c + a > 0$. Таким образом, утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

2) a - b < 0

Данное неравенство эквивалентно неравенству $a < b$. На координатной прямой любая точка, расположенная левее другой, соответствует меньшему числу. Так как точка a находится левее точки b, то неравенство $a < b$ верно. Также можно рассуждать иначе: из отрицательного числа a вычитается положительное число b. Результат такой операции всегда будет отрицательным и меньшим, чем исходное число a, то есть $a - b < 0$. Таким образом, утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

3) a + b > 0

Мы складываем отрицательное число a и положительное число b. Знак суммы зависит от их модулей. Из анализа рисунка следует, что расстояние от a до 0 больше, чем расстояние от b до 0, то есть $|a| > |b|$. Когда мы складываем числа с разными знаками, результат будет иметь знак того числа, чей модуль больше. В данном случае модуль числа a больше, а само число a отрицательно. Следовательно, их сумма будет отрицательной: $a + b < 0$. Утверждение $a + b > 0$ противоречит этому выводу. Таким образом, утверждение является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

4) abc < 0

Здесь необходимо определить знак произведения трех чисел. Мы знаем, что $a < 0$ (отрицательное), $b > 0$ (положительное) и $c > 0$ (положительное). Произведение чисел с такими знаками будет: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Результат будет отрицательным. Следовательно, неравенство $abc < 0$ является верным.

Ответ: утверждение верно.

33 На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$ (рис. 1.3).

Какое из двух утверждений верно?

1) $ab < b$ или $ab > b$

2) $abc < a$ или $abc > a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$

Рис. 1.3

Для решения задачи проанализируем информацию, данную на координатной прямой (рис. 1.3). На прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$ относительно 0 и 1. Из их расположения можно сделать следующие выводы об их знаках и величинах:

• Число $c$ расположено левее нуля, следовательно, $c$ — отрицательное число: $c < 0$.
• Число $a$ расположено между нулём и единицей, следовательно, $a$ — положительное число, меньшее единицы: $0 < a < 1$.
• Число $b$ расположено правее единицы, следовательно, $b$ — положительное число, большее единицы: $b > 1$.

Теперь проверим каждое из трех утверждений.

1) $ab < b$ или $ab > b$

Чтобы сравнить произведения $ab$ и $b$, можно разделить обе части неравенства на $b$. Так как $b > 1$, знак $b$ — положительный, поэтому при делении на $b$ знак неравенства не изменится.

Неравенство $ab < b$ эквивалентно неравенству $a < 1$.

Неравенство $ab > b$ эквивалентно неравенству $a > 1$.

Из анализа координатной прямой мы установили, что $0 < a < 1$. Следовательно, неравенство $a < 1$ является верным. Это означает, что неравенство $ab < b$ также верно. Поскольку одна из частей утверждения, соединенных союзом "или", верна, всё утверждение является верным.

Ответ: $ab < b$

2) $abc < a$ или $abc > a$

Для сравнения выражений $abc$ и $a$ разделим обе части неравенства на $a$. Так как $0 < a < 1$, число $a$ положительное, и знак неравенства при делении не изменится.

Неравенство $abc < a$ эквивалентно неравенству $bc < 1$.

Неравенство $abc > a$ эквивалентно неравенству $bc > 1$.

Определим знак произведения $bc$. Мы знаем, что $b > 1$ (положительное число) и $c < 0$ (отрицательное число). Произведение положительного и отрицательного числа всегда отрицательно. Таким образом, $bc < 0$.

Любое отрицательное число меньше 1, поэтому неравенство $bc < 1$ является верным. Следовательно, и неравенство $abc < a$ также верно. Утверждение в целом является верным.

Ответ: $abc < a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$

Чтобы сравнить $-ac$ и $c$, разделим обе части на $c$. Так как $c < 0$, число $c$ отрицательное, поэтому при делении на $c$ знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Неравенство $-ac < c$ эквивалентно неравенству $-a > 1$. Умножив на -1, получим $a < -1$ (знак снова меняется).

Неравенство $-ac > c$ эквивалентно неравенству $-a < 1$. Умножив на -1, получим $a > -1$ (знак снова меняется).

Мы знаем, что $0 < a < 1$. Неравенство $a < -1$ очевидно неверно, так как $a$ — положительное число. А неравенство $a > -1$ верно, так как любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, неравенство $-ac > c$ является верным, и всё утверждение также верно.

Ответ: $-ac > c$

В результате анализа было установлено, что все три предложенных утверждения являются верными при заданных условиях. Вопрос "Какое из двух утверждений верно?", скорее всего, содержит опечатку (вместо "двух" должно быть "трех"). Поскольку все три утверждения верны, задача в данной формулировке не имеет единственного решения, если предполагается выбор одного пункта.