Страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

13 1) Найдите значение дроби $\frac{1}{a}$ при $a = 15$; $8$; $\frac{1}{4}$; $\frac{2}{3}$; $-8$; $-\frac{3}{5}$.

2) При каких значениях $a$ из приведённого перечня выполняется неравенство:

$0 < \frac{1}{a} < 1$; $\frac{1}{a} > 1$; $-1 < \frac{1}{a} < 0$; $\frac{1}{a} < -1?$

1)

Для нахождения значения дроби $\frac{1}{a}$ необходимо подставить в нее последовательно каждое из заданных значений переменной $a$.

Если $a = 15$, то $\frac{1}{a} = \frac{1}{15}$.

Если $a = 8$, то $\frac{1}{a} = \frac{1}{8}$.

Если $a = \frac{1}{4}$, то $\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 \div \frac{1}{4} = 1 \cdot \frac{4}{1} = 4$.

Если $a = \frac{2}{3}$, то $\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Если $a = -8$, то $\frac{1}{a} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

Если $a = -\frac{3}{5}$, то $\frac{1}{a} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = 1 \div \left(-\frac{3}{5}\right) = 1 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{15}; \frac{1}{8}; 4; \frac{3}{2}; -\frac{1}{8}; -\frac{5}{3}$.

2)

Используем значения дроби $\frac{1}{a}$, вычисленные в первом пункте, чтобы проверить, при каких из данных значений $a$ выполняются указанные неравенства.

$0 < \frac{1}{a} < 1$

Это неравенство верно для тех значений $\frac{1}{a}$, которые больше нуля, но меньше единицы. Из полученных нами значений этому условию удовлетворяют $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{8}$. Эти значения были получены при $a=15$ и $a=8$.

Ответ: $a = 15; 8$.

$\frac{1}{a} > 1$

Это неравенство верно для тех значений $\frac{1}{a}$, которые больше единицы. Из полученных нами значений этому условию удовлетворяют $4$ и $\frac{3}{2}$. Эти значения были получены при $a=\frac{1}{4}$ и $a=\frac{2}{3}$.

Ответ: $a = \frac{1}{4}; \frac{2}{3}$.

$-1 < \frac{1}{a} < 0$

Это неравенство верно для тех значений $\frac{1}{a}$, которые меньше нуля, но больше минус единицы. Из полученных нами значений этому условию удовлетворяет только $-\frac{1}{8}$. Это значение было получено при $a=-8$.

Ответ: $a = -8$.

$\frac{1}{a} < -1$

Это неравенство верно для тех значений $\frac{1}{a}$, которые меньше минус единицы. Из полученных нами значений этому условию удовлетворяет только $-\frac{5}{3}$ (поскольку $-\frac{5}{3} \approx -1.67$, что меньше $-1$). Это значение было получено при $a=-\frac{3}{5}$.

Ответ: $a = -\frac{3}{5}$.

14 Среди чисел 8, 11 и 12 выберите такие значения a, при которых выполняется двойное неравенство $\frac{4}{5} < \frac{9}{a} < 1$.

Для решения этой задачи нужно поочередно подставить каждое из предложенных чисел (8, 11, 12) вместо переменной a в двойное неравенство $\frac{4}{5} < \frac{9}{a} < 1$ и проверить, выполняется ли оно.

Проверка для a = 8

Подставляем значение a = 8 в неравенство:

$\frac{4}{5} < \frac{9}{8} < 1$

Рассмотрим правую часть этого двойного неравенства: $\frac{9}{8} < 1$. Это утверждение неверно, поскольку числитель дроби (9) больше знаменателя (8), а значит, дробь $\frac{9}{8}$ на самом деле больше единицы.

Следовательно, значение a = 8 не является решением.

Проверка для a = 11

Подставляем значение a = 11 в неравенство:

$\frac{4}{5} < \frac{9}{11} < 1$

Проверим обе части этого двойного неравенства:

1. Правая часть: $\frac{9}{11} < 1$. Это неравенство верно, так как числитель (9) меньше знаменателя (11).

2. Левая часть: $\frac{4}{5} < \frac{9}{11}$. Чтобы сравнить эти дроби, можно воспользоваться методом перекрестного умножения. Сравним произведения $4 \cdot 11$ и $5 \cdot 9$. Получаем $44$ и $45$. Так как $44 < 45$, то и неравенство $\frac{4}{5} < \frac{9}{11}$ является верным.

Поскольку обе части двойного неравенства верны, значение a = 11 является решением.

Проверка для a = 12

Подставляем значение a = 12 в неравенство:

$\frac{4}{5} < \frac{9}{12} < 1$

Сначала можно сократить дробь $\frac{9}{12}$ на 3: $\frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$. Неравенство примет вид:

$\frac{4}{5} < \frac{3}{4} < 1$

Рассмотрим левую часть: $\frac{4}{5} < \frac{3}{4}$. Снова применим перекрестное умножение: сравним $4 \cdot 4$ и $5 \cdot 3$. Получаем $16$ и $15$. Утверждение $16 < 15$ является неверным.

Следовательно, значение a = 12 не является решением.

Таким образом, из предложенных чисел только 11 удовлетворяет заданному условию.

Ответ: 11.

15 Составьте всевозможные дроби, не равные 1, числители и знаменатели которых — числа 11, 12, 13, и упорядочите их.

Для решения задачи сначала составим все возможные дроби, используя числа 11, 12 и 13 в качестве числителя и знаменателя. Всего можно составить $3 \times 3 = 9$ дробей: $\frac{11}{11}, \frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{11}, \frac{12}{12}, \frac{12}{13}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}, \frac{13}{13}$.

Согласно условию, необходимо исключить дроби, равные 1. Дробь равна единице, если ее числитель равен знаменателю. Такими дробями являются $\frac{11}{11}, \frac{12}{12}$ и $\frac{13}{13}$.

После исключения у нас остаются следующие 6 дробей, которые нужно упорядочить: $\frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{11}, \frac{12}{13}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}$.

Для удобства упорядочивания (сортировки по возрастанию) разделим дроби на две группы: правильные (значение меньше 1) и неправильные (значение больше 1). Любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной.

Упорядочивание правильных дробей
В эту группу входят дроби, у которых числитель меньше знаменателя: $\frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{13}$.
1. Сравним дроби с одинаковыми числителями: $\frac{11}{13}$ и $\frac{11}{12}$. Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та, у которой знаменатель больше. Следовательно, $\frac{11}{13} < \frac{11}{12}$.
2. Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Приведем их к общему знаменателю $12 \times 13 = 156$. Получаем: $\frac{11}{12} = \frac{11 \times 13}{156} = \frac{143}{156}$ и $\frac{12}{13} = \frac{12 \times 12}{156} = \frac{144}{156}$. Так как $143 < 144$, то $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.
В результате получаем отсортированный ряд правильных дробей: $\frac{11}{13}, \frac{11}{12}, \frac{12}{13}$.

Упорядочивание неправильных дробей
В эту группу входят дроби, у которых числитель больше знаменателя: $\frac{12}{11}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}$.
1. Сравним дроби с одинаковыми числителями: $\frac{13}{12}$ и $\frac{13}{11}$. Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та, у которой знаменатель больше. Следовательно, $\frac{13}{12} < \frac{13}{11}$.
2. Сравним дроби $\frac{13}{12}$ и $\frac{12}{11}$. Приведем их к общему знаменателю $12 \times 11 = 132$. Получаем: $\frac{13}{12} = \frac{13 \times 11}{132} = \frac{143}{132}$ и $\frac{12}{11} = \frac{12 \times 12}{132} = \frac{144}{132}$. Так как $143 < 144$, то $\frac{13}{12} < \frac{12}{11}$.
3. Объединяя результаты, получаем отсортированный ряд неправильных дробей: $\frac{13}{12}, \frac{12}{11}, \frac{13}{11}$.

Итоговый упорядоченный ряд
Объединяя отсортированные группы правильных и неправильных дробей, получаем итоговую последовательность в порядке возрастания.
Ответ: $\frac{11}{13}, \frac{11}{12}, \frac{12}{13}, \frac{13}{12}, \frac{12}{11}, \frac{13}{11}$.

16 Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37? Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел. Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Для решения задачи сначала необходимо определить множество простых чисел, которые будут использоваться для составления дробей.

Простые числа в диапазоне от 11 до 37 включительно: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Всего в этом диапазоне 8 простых чисел. Обозначим это множество как $P = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37?

Дробь состоит из числителя и знаменателя. Числитель дроби можно выбрать одним из 8 способов (любое число из множества $P$). Знаменатель дроби также можно выбрать одним из 8 способов.

Общее количество всех возможных пар (числитель, знаменатель) равно произведению числа вариантов для числителя и знаменателя: $8 \times 8 = 64$. Таким образом, можно составить 64 дроби.

По условию, дроби должны быть отличны от 1. Дробь равна единице, когда ее числитель равен знаменателю. Таких дробей можно составить столько, сколько чисел в нашем множестве, то есть 8: $\frac{11}{11}, \frac{13}{13}, \frac{17}{17}, \frac{19}{19}, \frac{23}{23}, \frac{29}{29}, \frac{31}{31}, \frac{37}{37}$.

Чтобы найти количество дробей, не равных 1, нужно из общего количества вычесть количество дробей, равных 1: $64 - 8 = 56$.

Ответ: 56.

Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел.

Наименьшее значение дроби достигается при наименьшем возможном числителе и наибольшем возможном знаменателе. Наименьшее простое число в нашем множестве — это 11. Наибольшее простое число в нашем множестве — это 37. Следовательно, наименьшая дробь равна $\frac{11}{37}$.

Наибольшее значение дроби достигается при наибольшем возможном числителе и наименьшем возможном знаменателе. Наибольшее простое число — это 37. Наименьшее простое число — это 11. Следовательно, наибольшая дробь равна $\frac{37}{11}$.

Ответ: наименьшее число — $\frac{11}{37}$, наибольшее число — $\frac{37}{11}$.

Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Нам нужно найти количество дробей $\frac{p_1}{p_2}$, для которых выполняется неравенство $\frac{p_1}{p_2} < \frac{1}{2}$, где $p_1$ и $p_2$ — простые числа из множества $P$. Это неравенство можно переписать в виде $2 \cdot p_1 < p_2$.

Рассмотрим все возможные значения для числителя $p_1$ и посчитаем для каждого из них количество подходящих знаменателей $p_2$ из множества $P$:
- Если $p_1 = 11$, то $2 \cdot 11 < p_2 \implies 22 < p_2$. Подходящие знаменатели: 23, 29, 31, 37. (4 дроби)
- Если $p_1 = 13$, то $2 \cdot 13 < p_2 \implies 26 < p_2$. Подходящие знаменатели: 29, 31, 37. (3 дроби)
- Если $p_1 = 17$, то $2 \cdot 17 < p_2 \implies 34 < p_2$. Подходящий знаменатель: 37. (1 дробь)
- Если $p_1 = 19$, то $2 \cdot 19 < p_2 \implies 38 < p_2$. В множестве $P$ нет чисел, больших 38. (0 дробей)

Для числителей $p_1$, больших или равных 19, условие $2 \cdot p_1 < p_2$ выполняться не будет, так как максимальное значение $p_2$ равно 37.

Теперь сложим количество дробей, найденных для каждого числителя: $4 + 3 + 1 + 0 = 8$.

Ответ: 8.

17 При каких натуральных значениях $x$ верно неравенство:

а) $\frac{100}{x} > 20;$

б) $\frac{30}{x} < 10;$

в) $1 < \frac{50}{x} < 10;$

г) $\frac{20}{x} > \frac{1}{2}?$

а) $\frac{100}{x} > 20$

Поскольку по условию $x$ – натуральное число, то $x > 0$. Умножим обе части неравенства на $x$. Так как $x$ — положительное число, знак неравенства не изменится:

$100 > 20x$

Теперь разделим обе части неравенства на 20. Знак неравенства снова не изменится, так как 20 — положительное число:

$\frac{100}{20} > x$

$5 > x$, что эквивалентно $x < 5$.

Натуральные числа, удовлетворяющие условию $x < 5$, это 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) $\frac{30}{x} < 10$

Так как $x$ – натуральное число, $x > 0$. Умножим обе части неравенства на $x$, сохраняя знак неравенства:

$30 < 10x$

Разделим обе части на 10:

$\frac{30}{10} < x$

$3 < x$, что эквивалентно $x > 3$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, — это все целые числа, начиная с 4.

Ответ: 4, 5, 6, ... (все натуральные числа больше 3).

в) $1 < \frac{50}{x} < 10$

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

1) $\frac{50}{x} < 10$

2) $1 < \frac{50}{x}$

Решим первое неравенство. Учитывая, что $x$ — натуральное число ($x > 0$), умножаем на $x$:

$50 < 10x$

$5 < x$

Решим второе неравенство. Умножаем на $x$:

$x < 50$

Объединяя результаты, получаем, что $x$ должен удовлетворять обоим условиям одновременно: $5 < x$ и $x < 50$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 < x < 50$.

Натуральные числа, которые больше 5 и меньше 50, — это числа от 6 до 49 включительно.

Ответ: 6, 7, 8, ..., 48, 49.

г) $\frac{20}{x} > \frac{1}{2}$

Так как $x$ – натуральное число, $x > 0$. Умножим обе части неравенства на $2x$. Поскольку $2x$ — положительное число, знак неравенства не изменится:

$20 \cdot 2 > 1 \cdot x$

$40 > x$, что эквивалентно $x < 40$.

Натуральные числа, удовлетворяющие условию $x < 40$, — это числа от 1 до 39 включительно.

Ответ: 1, 2, 3, ..., 39.