Страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Сравните числа, используя перекрёстное правило:

а) $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{11}$;

б) $\frac{4}{21}$ и $\frac{3}{17}$;

в) $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{16}$;

г) $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{11}$, применим перекрестное правило. Для этого сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и знаменателя первой дроби на числитель второй.
Произведение числителя первой дроби на знаменатель второй: $5 \cdot 11 = 55$.
Произведение знаменателя первой дроби на числитель второй: $9 \cdot 7 = 63$.
Сравниваем результаты: $55 < 63$.
Поскольку первое произведение меньше второго, то и первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{5}{9} < \frac{7}{11}$

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{21}$ и $\frac{3}{17}$, применим перекрестное правило.
Произведение числителя первой дроби на знаменатель второй: $4 \cdot 17 = 68$.
Произведение знаменателя первой дроби на числитель второй: $21 \cdot 3 = 63$.
Сравниваем результаты: $68 > 63$.
Поскольку первое произведение больше второго, то и первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{4}{21} > \frac{3}{17}$

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{16}$, применим перекрестное правило.
Произведение числителя первой дроби на знаменатель второй: $7 \cdot 16 = 112$.
Произведение знаменателя первой дроби на числитель второй: $12 \cdot 9 = 108$.
Сравниваем результаты: $112 > 108$.
Поскольку первое произведение больше второго, то и первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{7}{12} > \frac{9}{16}$

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$, применим перекрестное правило.
Произведение числителя первой дроби на знаменатель второй: $5 \cdot 13 = 65$.
Произведение знаменателя первой дроби на числитель второй: $8 \cdot 8 = 64$.
Сравниваем результаты: $65 > 64$.
Поскольку первое произведение больше второго, то и первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{8}{13}$

2 Сравните числа, используя приём сравнения с «промежуточным» числом:

а) $ \frac{11}{18} $ и $ \frac{10}{23} $;

б) $ \frac{5}{28} $ и $ \frac{11}{40} $;

в) $ \frac{49}{53} $ и $ \frac{41}{40} $;

г) $ \frac{9}{22} $ и $ \frac{27}{50} $.

Образец. Сравним числа $ \frac{25}{62} $ и $ \frac{49}{80} $.

Так как $ \frac{25}{62} < \frac{1}{2} $, а $ \frac{49}{80} > \frac{1}{2} $, то $ \frac{25}{62} < \frac{49}{80} $.

а) Для сравнения чисел $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$ используем промежуточное число $\frac{1}{2}$.
Сначала сравним дробь $\frac{11}{18}$ с $\frac{1}{2}$. Половина знаменателя 18 равна $18 : 2 = 9$. Так как числитель 11 больше 9, то дробь $\frac{11}{18}$ больше, чем $\frac{1}{2}$.
Запишем это в виде неравенства: $\frac{11}{18} > \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дробь $\frac{10}{23}$ с $\frac{1}{2}$. Половина знаменателя 23 равна $23 : 2 = 11,5$. Так как числитель 10 меньше 11,5, то дробь $\frac{10}{23}$ меньше, чем $\frac{1}{2}$.
Запишем это в виде неравенства: $\frac{10}{23} < \frac{11,5}{23} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{11}{18} > \frac{1}{2}$ и $\frac{10}{23} < \frac{1}{2}$, то из этого следует, что $\frac{11}{18} > \frac{10}{23}$.
Ответ: $\frac{11}{18} > \frac{10}{23}$.

б) Для сравнения чисел $\frac{5}{28}$ и $\frac{11}{40}$ используем промежуточное число $\frac{1}{4}$.
Сравним дробь $\frac{5}{28}$ с $\frac{1}{4}$. Для этого приведем $\frac{1}{4}$ к знаменателю 28: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{7}{28}$.
Так как $5 < 7$, то $\frac{5}{28} < \frac{7}{28}$, а значит $\frac{5}{28} < \frac{1}{4}$.
Теперь сравним дробь $\frac{11}{40}$ с $\frac{1}{4}$. Для этого приведем $\frac{1}{4}$ к знаменателю 40: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \frac{10}{40}$.
Так как $11 > 10$, то $\frac{11}{40} > \frac{10}{40}$, а значит $\frac{11}{40} > \frac{1}{4}$.
Поскольку $\frac{5}{28} < \frac{1}{4}$ и $\frac{11}{40} > \frac{1}{4}$, то из этого следует, что $\frac{5}{28} < \frac{11}{40}$.
Ответ: $\frac{5}{28} < \frac{11}{40}$.

в) Для сравнения чисел $\frac{49}{53}$ и $\frac{41}{40}$ используем промежуточное число 1.
Дробь $\frac{49}{53}$ является правильной, потому что её числитель (49) меньше знаменателя (53). любая правильная дробь меньше 1. Таким образом, $\frac{49}{53} < 1$.
Дробь $\frac{41}{40}$ является неправильной, потому что её числитель (41) больше знаменателя (40). Такая неправильная дробь всегда больше 1. Таким образом, $\frac{41}{40} > 1$.
Так как $\frac{49}{53} < 1$ и $\frac{41}{40} > 1$, то очевидно, что $\frac{49}{53} < \frac{41}{40}$.
Ответ: $\frac{49}{53} < \frac{41}{40}$.

г) Для сравнения чисел $\frac{9}{22}$ и $\frac{27}{50}$ используем промежуточное число $\frac{1}{2}$.
Сначала сравним дробь $\frac{9}{22}$ с $\frac{1}{2}$. Половина знаменателя 22 равна $22 : 2 = 11$. Так как числитель 9 меньше 11, то дробь $\frac{9}{22}$ меньше, чем $\frac{1}{2}$.
Запишем это в виде неравенства: $\frac{9}{22} < \frac{11}{22} = \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дробь $\frac{27}{50}$ с $\frac{1}{2}$. Половина знаменателя 50 равна $50 : 2 = 25$. Так как числитель 27 больше 25, то дробь $\frac{27}{50}$ больше, чем $\frac{1}{2}$.
Запишем это в виде неравенства: $\frac{27}{50} > \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{9}{22} < \frac{1}{2}$ и $\frac{27}{50} > \frac{1}{2}$, то из этого следует, что $\frac{9}{22} < \frac{27}{50}$.
Ответ: $\frac{9}{22} < \frac{27}{50}$.

3 Сравните числа, используя любой известный вам способ:

а) $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{11}{27} $;

б) $ \frac{31}{32} $ и $ \frac{21}{22} $;

в) $ \frac{45}{98} $ и $ \frac{23}{38} $;

г) $ \frac{22}{21} $ и $ \frac{21}{20} $.

а) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{27}$.

Чтобы сравнить две дроби, можно привести их к общему знаменателю или использовать метод перекрестного умножения. Второй способ часто бывает проще. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой.

Сравниваем $3 \times 27$ и $11 \times 7$.

$3 \times 27 = 81$

$11 \times 7 = 77$

Поскольку $81 > 77$, то и дробь, из которой был взят числитель для большего произведения, больше. Таким образом, $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

Ответ: $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

б) Сравним дроби $\frac{31}{32}$ и $\frac{21}{22}$.

Обе дроби близки к 1. Удобно сравнить, насколько каждая из них меньше единицы. Найдем их "дополнения до 1".

Для первой дроби: $1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$.

Для второй дроби: $1 - \frac{21}{22} = \frac{22}{22} - \frac{21}{22} = \frac{1}{22}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{22}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $32 > 22$, то $\frac{1}{32} < \frac{1}{22}$.

Чем меньше не хватает до единицы, тем больше сама дробь. Поскольку $\frac{1}{32}$ меньше, чем $\frac{1}{22}$, это означает, что дробь $\frac{31}{32}$ "ближе" к единице, а значит, она больше.

Ответ: $\frac{31}{32} > \frac{21}{22}$.

в) Сравним дроби $\frac{45}{98}$ и $\frac{23}{38}$.

Для сравнения этих дробей можно использовать промежуточное число, например, $\frac{1}{2}$.

Рассмотрим первую дробь $\frac{45}{98}$. Половина от знаменателя 98 равна $98 \div 2 = 49$. Так как числитель $45 < 49$, то дробь $\frac{45}{98} < \frac{49}{98} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{23}{38}$. Половина от знаменателя 38 равна $38 \div 2 = 19$. Так как числитель $23 > 19$, то дробь $\frac{23}{38} > \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$.

Мы получили, что первая дробь меньше $\frac{1}{2}$, а вторая больше $\frac{1}{2}$. Следовательно, первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{45}{98} < \frac{23}{38}$.

г) Сравним дроби $\frac{22}{21}$ и $\frac{21}{20}$.

Обе дроби — неправильные, то есть больше 1. Представим каждую из них в виде смешанного числа, выделив целую часть.

$\frac{22}{21} = 1\frac{1}{21} = 1 + \frac{1}{21}$

$\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20} = 1 + \frac{1}{20}$

Целые части у обеих дробей одинаковы и равны 1. Значит, для сравнения исходных дробей достаточно сравнить их дробные части: $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{20}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $21 > 20$, то $\frac{1}{21} < \frac{1}{20}$.

Поскольку дробная часть первой дроби меньше дробной части второй, то и сама первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{22}{21} < \frac{21}{20}$.

4. а) Петя и Коля, сравнивая длину своих шагов, заметили, что 17 шагов Пети составили 8 м, а 20 шагов Коли составили 11 м. Чей шаг короче?

б) Петя распечатал на своём принтере 14 страниц за 3 мин, а Коля на своём — 24 страницы за 5 мин. Чей принтер работает быстрее?

а) Чтобы определить, чей шаг короче, нужно найти длину одного шага для Пети и для Коли, а затем сравнить полученные значения.
1. Найдем длину одного шага Пети. Он прошел 8 метров за 17 шагов. Длина его шага составляет $ \frac{8}{17} $ метра.
2. Найдем длину одного шага Коли. Он прошел 11 метров за 20 шагов. Длина его шага составляет $ \frac{11}{20} $ метра.
3. Теперь сравним две дроби: $ \frac{8}{17} $ и $ \frac{11}{20} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 17 и 20 это $ 17 \times 20 = 340 $.
Длина шага Пети: $ \frac{8}{17} = \frac{8 \times 20}{17 \times 20} = \frac{160}{340} $ метра.
Длина шага Коли: $ \frac{11}{20} = \frac{11 \times 17}{20 \times 17} = \frac{187}{340} $ метра.
4. Сравниваем числители полученных дробей: $ 160 < 187 $.
Следовательно, $ \frac{160}{340} < \frac{187}{340} $, а значит $ \frac{8}{17} < \frac{11}{20} $.
Это означает, что шаг Пети короче шага Коли.
Ответ: Шаг Пети короче.

б) Чтобы определить, чей принтер работает быстрее, нужно найти производительность (скорость печати) каждого принтера в страницах в минуту и сравнить их.
1. Найдем скорость печати принтера Пети. Он распечатал 14 страниц за 3 минуты. Его скорость составляет $ \frac{14}{3} $ страниц в минуту.
2. Найдем скорость печати принтера Коли. Он распечатал 24 страницы за 5 минут. Его скорость составляет $ \frac{24}{5} $ страниц в минуту.
3. Теперь сравним две дроби: $ \frac{14}{3} $ и $ \frac{24}{5} $. Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 это $ 3 \times 5 = 15 $.
Скорость принтера Пети: $ \frac{14}{3} = \frac{14 \times 5}{3 \times 5} = \frac{70}{15} $ страниц в минуту.
Скорость принтера Коли: $ \frac{24}{5} = \frac{24 \times 3}{5 \times 3} = \frac{72}{15} $ страниц в минуту.
4. Сравниваем числители полученных дробей: $ 70 < 72 $.
Следовательно, $ \frac{70}{15} < \frac{72}{15} $, а значит $ \frac{14}{3} < \frac{24}{5} $.
Это означает, что принтер Коли печатает больше страниц за то же время, то есть работает быстрее.
Ответ: Принтер Коли работает быстрее.

5 Какие из следующих дробей можно представить в виде десятичных: $\frac{3}{40}$; $\frac{7}{15}$; $\frac{16}{24}$; $\frac{9}{45}$; $\frac{14}{50}$; $\frac{34}{16}$?

Чтобы определить, можно ли обыкновенную дробь представить в виде конечной десятичной, нужно сначала сократить дробь до ее несократимого вида, а затем разложить знаменатель полученной дроби на простые множители. Если в разложении знаменателя присутствуют только простые множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. Если в разложении есть другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.), то дробь представляется в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Проверим каждую дробь согласно этому правилу.

$\frac{3}{40}$

Дробь несократимая, так как у числителя 3 и знаменателя 40 нет общих делителей, кроме 1. Разложим знаменатель 40 на простые множители: $40 = 4 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$. В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, эту дробь можно представить в виде десятичной.

$\frac{7}{15}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель 15 на простые множители: $15 = 3 \times 5$. В разложении знаменателя присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.

$\frac{16}{24}$

Дробь сократимая. Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8: $\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$. Знаменатель несократимой дроби равен 3. Так как в разложении знаменателя есть множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.

$\frac{9}{45}$

Дробь сократимая. Сократим ее на 9: $\frac{9}{45} = \frac{9 \div 9}{45 \div 9} = \frac{1}{5}$. Знаменатель несократимой дроби равен 5. В разложении знаменателя присутствует только множитель 5. Следовательно, эту дробь можно представить в виде десятичной.

$\frac{14}{50}$

Дробь сократимая. Сократим ее на 2: $\frac{14}{50} = \frac{14 \div 2}{50 \div 2} = \frac{7}{25}$. Разложим знаменатель 25 на простые множители: $25 = 5^2$. В разложении знаменателя присутствует только множитель 5. Следовательно, эту дробь можно представить в виде десятичной.

$\frac{34}{16}$

Дробь сократимая. Сократим ее на 2: $\frac{34}{16} = \frac{34 \div 2}{16 \div 2} = \frac{17}{8}$. Разложим знаменатель 8 на простые множители: $8 = 2^3$. В разложении знаменателя присутствует только множитель 2. Следовательно, эту дробь можно представить в виде десятичной.

Ответ: в виде десятичных можно представить дроби $\frac{3}{40}$, $\frac{9}{45}$, $\frac{14}{50}$, $\frac{34}{16}$.

6 Сравните обыкновенную и десятичную дроби:

а) $0,8$ и $\frac{3}{4}$;

б) $\frac{4}{5}$ и $0,9$;

в) $0,25$ и $\frac{4}{15}$;

г) $\frac{7}{11}$ и $0,6$.

а) Для сравнения дробей $0,8$ и $\frac{3}{4}$ представим одну из них в виде другой. Удобнее перевести обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$.
Теперь сравним десятичные дроби $0,8$ и $0,75$. Поскольку в разряде десятых $8 > 7$, то $0,8 > 0,75$.
Следовательно, $0,8 > \frac{3}{4}$.
Ответ: $0,8 > \frac{3}{4}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{5}$ и $0,9$, переведем обыкновенную дробь $\frac{4}{5}$ в десятичную. Домножим числитель и знаменатель на 2, чтобы получить в знаменателе 10:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$.
Теперь сравним десятичные дроби $0,8$ и $0,9$. Так как $8 < 9$, то $0,8 < 0,9$.
Следовательно, $\frac{4}{5} < 0,9$.
Ответ: $\frac{4}{5} < 0,9$.

в) Для сравнения $0,25$ и $\frac{4}{15}$ удобнее перевести десятичную дробь в обыкновенную, так как $\frac{4}{15}$ является бесконечной периодической десятичной дробью.
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Теперь сравним обыкновенные дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{4}{15}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 4 и 15 равно $4 \times 15 = 60$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 15}{4 \times 15} = \frac{15}{60}$.
$\frac{4}{15} = \frac{4 \times 4}{15 \times 4} = \frac{16}{60}$.
Сравнивая числители, получаем $15 < 16$, значит $\frac{15}{60} < \frac{16}{60}$.
Следовательно, $0,25 < \frac{4}{15}$.
Ответ: $0,25 < \frac{4}{15}$.

г) Чтобы сравнить $\frac{7}{11}$ и $0,6$, переведем десятичную дробь в обыкновенную.
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Теперь сравним дроби $\frac{7}{11}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 11 и 5 равно $11 \times 5 = 55$.
$\frac{7}{11} = \frac{7 \times 5}{11 \times 5} = \frac{35}{55}$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 11}{5 \times 11} = \frac{33}{55}$.
Сравнивая числители, получаем $35 > 33$, значит $\frac{35}{55} > \frac{33}{55}$.
Следовательно, $\frac{7}{11} > 0,6$.
Ответ: $\frac{7}{11} > 0,6$.

7 Даны дроби: $\frac{12}{25}$; $\frac{21}{40}$; $0,52$; $0,485$.

Какая из данных дробей наименьшая? Какая наибольшая?

Чтобы сравнить данные числа, необходимо привести их к общему виду. Наиболее удобный способ — преобразовать все числа в десятичные дроби.

Даны числа: $\frac{12}{25}$; $\frac{21}{40}$; $0,52$; $0,485$.

1. Преобразуем дробь $\frac{12}{25}$ в десятичную. Для этого можно домножить числитель и знаменатель на 4, чтобы в знаменателе получилось 100:

$\frac{12}{25} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 0,48$

2. Преобразуем дробь $\frac{21}{40}$ в десятичную, разделив 21 на 40:

$21 \div 40 = 0,525$

Теперь у нас есть четыре десятичные дроби для сравнения: $0,48$; $0,525$; $0,52$; $0,485$.

Для удобства сравнения запишем все числа с одинаковым количеством знаков после запятой (три знака), добавив недостающие нули в конце:

• $0,48 = 0,480$
• $0,525$
• $0,52 = 0,520$
• $0,485$

Теперь сравним полученные числа: $0,480 < 0,485 < 0,520 < 0,525$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $\frac{12}{25} < 0,485 < 0,52 < \frac{21}{40}$.

Какая из данных дробей наименьшая?

Из упорядоченного ряда видно, что наименьшее значение — $0,480$, которое соответствует дроби $\frac{12}{25}$.

Ответ: $\frac{12}{25}$.

Какая наибольшая?

Из упорядоченного ряда видно, что наибольшее значение — $0,525$, которое соответствует дроби $\frac{21}{40}$.

Ответ: $\frac{21}{40}$.

8 Сравните числа, перейдя к десятичным дробям:

а) 0,52 и $ \frac{17}{32} $;

б) $ \frac{39}{125} $ и 0,3125;

в) $ \frac{130}{311} $ и $ \frac{88}{217} $;

г) $ \frac{11}{170} $ и $ \frac{15}{231} $.

а) Чтобы сравнить числа $0,52$ и $\frac{17}{32}$, переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$17 \div 32 = 0,53125$.
Теперь сравним десятичные дроби $0,52$ и $0,53125$.
$0,52 = 0,52000$.
Сравниваем по разрядам: цифры в разряде десятых одинаковы (5), а в разряде сотых $2 < 3$.
Следовательно, $0,52 < 0,53125$.
Ответ: $0,52 < \frac{17}{32}$.

б) Чтобы сравнить числа $\frac{39}{125}$ и $0,3125$, переведем обыкновенную дробь в десятичную.
Разделим числитель на знаменатель: $39 \div 125 = 0,312$.
Также можно домножить числитель и знаменатель на 8, чтобы в знаменателе получилось 1000:
$\frac{39}{125} = \frac{39 \times 8}{125 \times 8} = \frac{312}{1000} = 0,312$.
Теперь сравним десятичные дроби $0,312$ и $0,3125$.
$0,312 = 0,3120$.
Сравниваем по разрядам: первые три цифры после запятой одинаковы (3, 1, 2), а в разряде десятитысячных $0 < 5$.
Следовательно, $0,312 < 0,3125$.
Ответ: $\frac{39}{125} < 0,3125$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{130}{311}$ и $\frac{88}{217}$, переведем обе в десятичные, выполнив деление с точностью до нескольких знаков после запятой.
$ \frac{130}{311} = 130 \div 311 \approx 0,4180...$
$ \frac{88}{217} = 88 \div 217 \approx 0,4055...$
Теперь сравним полученные десятичные дроби $0,4180...$ и $0,4055...$.
Сравниваем по разрядам: цифры в разряде десятых одинаковы (4), а в разряде сотых $1 > 0$.
Следовательно, $0,4180... > 0,4055...$.
Ответ: $\frac{130}{311} > \frac{88}{217}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{170}$ и $\frac{15}{231}$, переведем обе в десятичные.
Для дроби $\frac{15}{231}$ можно сначала сократить числитель и знаменатель на 3: $\frac{15 \div 3}{231 \div 3} = \frac{5}{77}$.
Теперь выполним деление для обеих дробей с точностью до нескольких знаков после запятой.
$\frac{11}{170} = 11 \div 170 \approx 0,0647...$
$\frac{15}{231} = \frac{5}{77} = 5 \div 77 \approx 0,0649...$
Сравним полученные десятичные дроби $0,0647...$ и $0,0649...$.
Сравниваем по разрядам: первые три цифры после запятой одинаковы (0, 6, 4), а в разряде десятитысячных $7 < 9$.
Следовательно, $0,0647... < 0,0649...$.
Ответ: $\frac{11}{170} < \frac{15}{231}$.

9 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\frac{3}{4}$; $\frac{37}{500}$; 0,7;

б) 0,13; $\frac{29}{200}$; 0,125.

а) Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо привести их к общему виду, например, к десятичным дробям.

1. Переведем обыкновенную дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$3 \div 4 = 0.75$.

2. Переведем обыкновенную дробь $\frac{37}{500}$ в десятичную. Для этого домножим числитель и знаменатель на 2, чтобы получить в знаменателе 1000:
$\frac{37}{500} = \frac{37 \times 2}{500 \times 2} = \frac{74}{1000} = 0.074$.

3. Третье число уже представлено в виде десятичной дроби: $0.7$.

Теперь у нас есть три десятичные дроби: $0.75$, $0.074$ и $0.7$.
Сравним их. Для наглядности можно уравнять количество знаков после запятой: $0.750$, $0.074$, $0.700$.
В порядке возрастания они располагаются так: $0.074 < 0.700 < 0.750$.

Заменив десятичные дроби на их исходные представления, получим итоговый ряд:
$\frac{37}{500}$; $0.7$; $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{37}{500}$; $0.7$; $\frac{3}{4}$.

б) Поступим аналогичным образом, приведя все числа к десятичным дробям.

1. Первое число: $0.13$.

2. Второе число, дробь $\frac{29}{200}$, переведем в десятичную. Домножим числитель и знаменатель на 5, чтобы получить в знаменателе 1000:
$\frac{29}{200} = \frac{29 \times 5}{200 \times 5} = \frac{145}{1000} = 0.145$.

3. Третье число: $0.125$.

Теперь сравним десятичные дроби: $0.13$, $0.145$ и $0.125$.
Уравняем количество знаков после запятой: $0.130$, $0.145$, $0.125$.
В порядке возрастания они располагаются так: $0.125 < 0.130 < 0.145$.

Заменив десятичные дроби на их исходные представления, получим итоговый ряд:
$0.125$; $0.13$; $\frac{29}{200}$.

Ответ: $0.125$; $0.13$; $\frac{29}{200}$.

10 Расположите в порядке убывания числа:

а) $ \frac{1}{3} $; 0,3; 0,33; $ \frac{4}{11} $;

б) $ \frac{2}{3} $; 0,6; 0,66; $ \frac{5}{8} $.

а) Чтобы расположить числа $\frac{1}{3}; 0,3; 0,33; \frac{4}{11}$ в порядке убывания, необходимо их сравнить. Наиболее удобный способ — представить все числа в виде десятичных дробей.

1. Переведем обыкновенные дроби в десятичные:

$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$

$\frac{4}{11} = 4 \div 11 = 0,3636... = 0,(36)$

2. Теперь у нас есть четыре числа в десятичном виде:

$\frac{1}{3} \approx 0,333$

$0,3 = 0,300$

$0,33 = 0,330$

$\frac{4}{11} \approx 0,364$

3. Сравним эти десятичные дроби. Для этого достаточно посмотреть на первые три знака после запятой.

Сравниваем числа: $0,364$; $0,333$; $0,330$; $0,300$.

Самое большое число — $0,364$, что соответствует $\frac{4}{11}$.

Следующее по величине — $0,333$, что соответствует $\frac{1}{3}$.

Затем идет $0,330$, то есть $0,33$.

Самое маленькое число — $0,300$, то есть $0,3$.

4. Таким образом, получаем следующую последовательность в порядке убывания (от большего к меньшему):

$\frac{4}{11} > \frac{1}{3} > 0,33 > 0,3$

Ответ: $\frac{4}{11}; \frac{1}{3}; 0,33; 0,3$.

б) Чтобы расположить числа $\frac{2}{3}; 0,6; 0,66; \frac{5}{8}$ в порядке убывания, также представим их в виде десятичных дробей.

1. Переведем обыкновенные дроби в десятичные:

$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$

$\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0,625$

2. Теперь у нас есть четыре числа в десятичном виде:

$\frac{2}{3} \approx 0,667$

$0,6 = 0,600$

$0,66 = 0,660$

$\frac{5}{8} = 0,625$

3. Сравним эти десятичные дроби. Для этого достаточно посмотреть на первые три знака после запятой.

Сравниваем числа: $0,667$; $0,660$; $0,625$; $0,600$.

Самое большое число — $0,667$, что соответствует $\frac{2}{3}$.

Следующее по величине — $0,660$, то есть $0,66$.

Затем идет $0,625$, что соответствует $\frac{5}{8}$.

Самое маленькое число — $0,600$, то есть $0,6$.

4. Таким образом, получаем следующую последовательность в порядке убывания (от большего к меньшему):

$\frac{2}{3} > 0,66 > \frac{5}{8} > 0,6$

Ответ: $\frac{2}{3}; 0,66; \frac{5}{8}; 0,6$.

11 Сравните две обыкновенные дроби:

а) $ -\frac{5}{19} $ и $ -\frac{2}{9} $;

б) $ -\frac{5}{12} $ и $ -\frac{11}{19} $;

в) $ -0,6 $ и $ -\frac{5}{6} $;

г) $ -\frac{1}{4} $ и $ -0,2 $.

а) Чтобы сравнить две отрицательные дроби $-\frac{5}{19}$ и $-\frac{2}{9}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\frac{5}{19}$ и $\frac{2}{9}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 19 и 9 равен их произведению, так как у них нет общих делителей: $19 \times 9 = 171$.
Приводим дроби к знаменателю 171:
$-\frac{5}{19} = -\frac{5 \times 9}{19 \times 9} = -\frac{45}{171}$
$-\frac{2}{9} = -\frac{2 \times 19}{9 \times 19} = -\frac{38}{171}$
Теперь сравним дроби $-\frac{45}{171}$ и $-\frac{38}{171}$. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Сравним модули: $|\-\frac{45}{171}| = \frac{45}{171}$ и $|\-\frac{38}{171}| = \frac{38}{171}$.
Поскольку $45 > 38$, то $\frac{45}{171} > \frac{38}{171}$. Следовательно, для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{45}{171} < -\frac{38}{171}$.
Таким образом, $-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}$.
Ответ: $-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}$.

б) Сравним дроби $-\frac{5}{12}$ и $-\frac{11}{19}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 19 равен их произведению: $12 \times 19 = 228$.
Выполним приведение к общему знаменателю:
$-\frac{5}{12} = -\frac{5 \times 19}{12 \times 19} = -\frac{95}{228}$
$-\frac{11}{19} = -\frac{11 \times 12}{19 \times 12} = -\frac{132}{228}$
Теперь сравним дроби $-\frac{95}{228}$ и $-\frac{132}{228}$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Сравним их модули: $\frac{95}{228}$ и $\frac{132}{228}$.
Так как $95 < 132$, то $\frac{95}{228} < \frac{132}{228}$.
Следовательно, $-\frac{95}{228} > -\frac{132}{228}$.
Значит, $-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}$.
Ответ: $-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}$.

в) Сравним числа $-0,6$ и $-\frac{5}{6}$. Для этого представим десятичную дробь в виде обыкновенной.
$-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Теперь задача сводится к сравнению двух обыкновенных дробей: $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{5}{6}$.
Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 6 равен 30.
$-\frac{3}{5} = -\frac{3 \times 6}{5 \times 6} = -\frac{18}{30}$
$-\frac{5}{6} = -\frac{5 \times 5}{6 \times 5} = -\frac{25}{30}$
Сравниваем $-\frac{18}{30}$ и $-\frac{25}{30}$. Поскольку $18 < 25$, то $|\-\frac{18}{30}| < |\-\frac{25}{30}|$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, поэтому $-\frac{18}{30} > -\frac{25}{30}$.
Следовательно, $-0,6 > -\frac{5}{6}$.
Ответ: $-0,6 > -\frac{5}{6}$.

г) Сравним числа $-\frac{1}{4}$ и $-0,2$. В этом случае удобнее представить обыкновенную дробь в виде десятичной.
$-\frac{1}{4} = -(1 \div 4) = -0,25$.
Теперь сравним два десятичных числа: $-0,25$ и $-0,2$.
Сравним их модули: $|-0,25| = 0,25$ и $|-0,2| = 0,2$.
Так как $0,25 > 0,2$, то $|-0,25| > |-0,2|$.
Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Следовательно, $-0,25 < -0,2$.
Значит, $-\frac{1}{4} < -0,2$.
Ответ: $-\frac{1}{4} < -0,2$.

12 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ По итогам работы за неделю отдел контроля телевизионного завода составил таблицу проверки качества телевизоров, выпущенных с конвейера.

День недели Выпущено Признано годными

Понедельник 235 228

Вторник 245 239

Среда 255 252

Четверг 256 250

Пятница 240 233

Суббота 182 175

В какой день недели завод работал лучше всего, в какой — хуже всего с точки зрения качества выпущенных телевизоров? (Воспользуйтесь калькулятором.)

Чтобы определить, в какой день недели завод работал лучше или хуже всего с точки зрения качества, необходимо для каждого дня рассчитать долю годных телевизоров от общего числа выпущенных. Показателем качества будет являться отношение количества годных телевизоров к общему количеству выпущенных. Чем выше это отношение, тем выше качество.

Рассчитаем долю качественной продукции для каждого дня по формуле:
$K = \frac{\text{Признано годными}}{\text{Выпущено}}$

Понедельник: $K_{Пн} = \frac{228}{235} \approx 0.9702$
Вторник: $K_{Вт} = \frac{239}{245} \approx 0.9755$
Среда: $K_{Ср} = \frac{252}{255} \approx 0.9882$
Четверг: $K_{Чт} = \frac{250}{256} \approx 0.9766$
Пятница: $K_{Пт} = \frac{233}{240} \approx 0.9708$
Суббота: $K_{Сб} = \frac{175}{182} \approx 0.9615$

Сравнив полученные доли, мы можем определить дни с самым высоким и самым низким качеством продукции.

В какой день недели завод работал лучше всего
Наибольшая доля годных телевизоров ($ \approx 0.9882$ или $98.82\%$) была произведена в среду. Следовательно, в этот день качество работы завода было наилучшим.
Ответ: Среда.

В какой день недели завод работал хуже всего
Наименьшая доля годных телевизоров ($ \approx 0.9615$ или $96.15\%$) была зафиксирована в субботу. Следовательно, в этот день качество работы завода было наихудшим.
Ответ: Суббота.