Страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Расскажите, как с помощью перекрёстного правила сравнивают обыкновенные дроби (фрагмент 1). Проиллюстрируйте этот приём на примере сравнения дробей $\frac{11}{25}$ и $\frac{19}{45}$.

Перекрёстное правило сравнения обыкновенных дробей

Перекрёстное правило, или правило «крест-накрест», — это удобный метод для сравнения двух обыкновенных дробей с разными знаменателями, который не требует явного приведения их к общему знаменателю.

Чтобы сравнить две дроби, например $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, нужно выполнить следующие действия:

1. Умножить числитель первой дроби на знаменатель второй. Это произведение $a \cdot d$.

2. Умножить числитель второй дроби на знаменатель первой. Это произведение $c \cdot b$.

3. Сравнить полученные произведения. Знак, который ставится между произведениями, будет тем же знаком, который нужно поставить между исходными дробями.

То есть, если $a \cdot d > c \cdot b$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$. Если $a \cdot d < c \cdot b$, то $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$. Если же $a \cdot d = c \cdot b$, то дроби равны: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Этот метод основан на приведении дробей к общему знаменателю $b \cdot d$. Дробь $\frac{a}{b}$ эквивалентна дроби $\frac{a \cdot d}{b \cdot d}$, а дробь $\frac{c}{d}$ эквивалентна дроби $\frac{c \cdot b}{b \cdot d}$. Сравнение этих двух дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сравнению их числителей: $a \cdot d$ и $c \cdot b$.

Иллюстрация приёма на примере сравнения дробей $\frac{11}{25}$ и $\frac{19}{45}$

Сравним дроби $\frac{11}{25}$ и $\frac{19}{45}$, используя перекрёстное правило.

Найдём первое произведение, умножив числитель первой дроби на знаменатель второй: $11 \cdot 45 = 495$.

Найдём второе произведение, умножив числитель второй дроби на знаменатель первой: $19 \cdot 25 = 475$.

Теперь сравним полученные произведения: $495$ и $475$.

Поскольку $495 > 475$, то и первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{11}{25} > \frac{19}{45}$.

С помощью перекрёстного правила докажите, что дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{52}{91}$ равны.

Каким ещё способом можно доказать равенство этих дробей?

С помощью перекрёстного правила докажите, что дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{52}{91}$ равны.

Перекрёстное правило (или основное свойство пропорции) гласит, что две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ равны тогда и только тогда, когда произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй. Математически это выглядит так: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$.

Применим это правило для дробей $\frac{4}{7}$ и $\frac{52}{91}$.

Найдём произведение числителя первой дроби на знаменатель второй:
$4 \cdot 91 = 364$

Найдём произведение знаменателя первой дроби на числитель второй:
$7 \cdot 52 = 364$

Поскольку результаты произведений равны ($364 = 364$), то, согласно перекрёстному правилу, дроби равны.

Ответ: Равенство произведений $4 \cdot 91 = 364$ и $7 \cdot 52 = 364$ доказывает, что дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{52}{91}$ равны.

Каким ещё способом можно доказать равенство этих дробей?

Равенство этих дробей можно доказать путем сокращения дроби $\frac{52}{91}$. Если в результате сокращения получится дробь $\frac{4}{7}$, то их равенство будет доказано.

Для сокращения дроби нужно найти наибольший общий делитель (НОД) её числителя и знаменателя. Для этого разложим числа 52 и 91 на простые множители:
$52 = 2 \cdot 26 = 2 \cdot 2 \cdot 13$
$91 = 7 \cdot 13$

Общим множителем является число 13, следовательно, НОД(52, 91) = 13.

Теперь разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{52}{91}$ на их наибольший общий делитель:
$\frac{52}{91} = \frac{52 \div 13}{91 \div 13} = \frac{4}{7}$

Так как в результате сокращения дроби $\frac{52}{91}$ мы получили дробь $\frac{4}{7}$, это доказывает, что дроби равны.

Ответ: Равенство дробей можно доказать путем сокращения дроби $\frac{52}{91}$, в результате чего получается дробь $\frac{4}{7}$.

Расскажите, как сравнивают обыкновенную и десятичную дроби (пример 2).

Сравните разными способами числа 0,35 и $\frac{3}{20}$.

Расскажите, как сравнивают обыкновенную и десятичную дроби

Чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, их необходимо привести к одному виду — либо обе к обыкновенным дробям, либо обе к десятичным. Существует два основных способа:

1. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Для этого числитель обыкновенной дроби делят на ее знаменатель. Например, чтобы перевести дробь $\frac{1}{4}$ в десятичную, нужно 1 разделить на 4, что равно 0,25. После преобразования сравнивают две десятичные дроби поразрядно (сначала целые части, затем десятые, сотые и т.д.).
2. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную. Десятичная дробь записывается в виде обыкновенной. Например, 0,75 — это "семьдесят пять сотых", то есть дробь $\frac{75}{100}$. После преобразования обе дроби приводят к общему знаменателю и сравнивают их числители.

Сравните разными способами числа 0,35 и $\frac{3}{20}$

Способ 1. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{3}{20}$ в десятичную. Для этого можно привести ее к знаменателю 100, так как 100 делится на 20. Умножим числитель и знаменатель дроби на 5:
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0,15$
Теперь сравним две десятичные дроби: 0,35 и 0,15.
Целые части у них одинаковы (равны 0). Сравниваем дробные части поразрядно, начиная с десятых.
В разряде десятых у числа 0,35 стоит цифра 3, а у числа 0,15 — цифра 1.
Поскольку $3 > 1$, то $0,35 > 0,15$.
Следовательно, $0,35 > \frac{3}{20}$.
Ответ: $0,35 > \frac{3}{20}$.

Способ 2. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Преобразуем десятичную дробь 0,35 в обыкновенную. 0,35 читается как "тридцать пять сотых", поэтому ее можно записать как $\frac{35}{100}$.
$0,35 = \frac{35}{100}$
Теперь нам нужно сравнить две обыкновенные дроби: $\frac{35}{100}$ и $\frac{3}{20}$.
Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 100 и 20 — это 100.
Приведем дробь $\frac{3}{20}$ к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100}$
Теперь сравним дроби $\frac{35}{100}$ и $\frac{15}{100}$.
Так как знаменатели у дробей одинаковы, сравниваем их числители.
Поскольку $35 > 15$, то $\frac{35}{100} > \frac{15}{100}$.
Следовательно, $0,35 > \frac{3}{20}$.
Ответ: $0,35 > \frac{3}{20}$.

1) Разберите пример 3. В чём основная идея предложенного решения? Какое преимущество дало использование калькулятора?

2) Сравните числа $\frac{8}{35}$ и $\frac{11}{49}$, заменив их десятичными приближениями.

3) Расположите в порядке убывания числа: $\frac{7}{15}$, $\frac{20}{43}$, 0,466.

Для разбора примера 3 необходимо видеть сам пример, который в предоставленном изображении отсутствует. Однако, можно сделать общие выводы о методе решения, который, по-видимому, используется в данном разделе учебника.

Основная идея предложенного решения, как правило, заключается в том, чтобы для сравнения или упорядочивания обыкновенных дробей, особенно с разными и большими знаменателями, преобразовать их в десятичные дроби. Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем приводить обыкновенные дроби к общему знаменателю, который может быть очень большим.

Преимущество использования калькулятора заключается в скорости и точности вычислений. Перевод обыкновенной дроби в десятичную требует выполнения деления числителя на знаменатель. Если делать это вручную "в столбик", процесс может быть долгим и есть риск допустить арифметическую ошибку. Калькулятор позволяет получить десятичное приближение практически мгновенно и с высокой точностью, что значительно упрощает и ускоряет решение задачи.

Ответ: Для полного ответа на вопрос необходимо ознакомиться с содержанием "примера 3".

Чтобы сравнить числа $ \frac{8}{35} $ и $ \frac{11}{49} $, заменим их десятичными приближениями. Для этого разделим числитель каждой дроби на ее знаменатель.

Вычислим десятичное приближение для первой дроби: $ \frac{8}{35} = 8 \div 35 \approx 0.22857... $

Вычислим десятичное приближение для второй дроби: $ \frac{11}{49} = 11 \div 49 \approx 0.22448... $

Теперь сравним полученные десятичные дроби. Для сравнения достаточно посмотреть на первые несколько знаков после запятой. $ 0.22857... > 0.22448... $, так как в разряде тысячных у первого числа стоит цифра 8, а у второго — 4, и $8 > 4$.

Следовательно, $ \frac{8}{35} > \frac{11}{49} $.

Ответ: $ \frac{8}{35} > \frac{11}{49} $.

Чтобы расположить числа $ \frac{7}{15} $, $ \frac{20}{43} $ и $ 0.466 $ в порядке убывания, необходимо сравнить их значения. Для этого представим все числа в виде десятичных дробей.

Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:
$ \frac{7}{15} = 7 \div 15 = 0.46666... = 0.4(6) $
$ \frac{20}{43} = 20 \div 43 \approx 0.46511... $

Третье число уже дано в виде десятичной дроби: $ 0.466 $.

Теперь у нас есть три десятичные дроби для сравнения:
$ 0.4666... $
$ 0.4651... $
$ 0.466 $ (можно записать как $ 0.4660 $)

Сравним эти числа. Первые две цифры после запятой у всех чисел одинаковы (46). Сравниваем по третьей и последующим цифрам:
Самое большое число — $ 0.4666... $, так как его третья цифра после запятой 6, а четвертая тоже 6.
Следующее по величине — $ 0.4660 $, так как его третья цифра 6, а четвертая 0.
Самое маленькое число — $ 0.4651... $, так как его третья цифра 5.

Таким образом, $ 0.4666... > 0.4660 > 0.4651... $, что соответствует $ \frac{7}{15} > 0.466 > \frac{20}{43} $.

Располагаем исходные числа в порядке убывания: $ \frac{7}{15} $, $ 0.466 $, $ \frac{20}{43} $.

Ответ: $ \frac{7}{15} $; $ 0.466 $; $ \frac{20}{43} $.

1) Вспомните правило сравнения положительного и отрицательного чисел; двух отрицательных чисел.

Правило сравнения положительного и отрицательного чисел

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Также любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

Это правило легко понять, если представить числа на координатной прямой. Ноль разделяет положительные и отрицательные числа. Положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные — слева. Из двух чисел на прямой большим является то, которое расположено правее.

Например, сравним $5$ и $-250$. Так как $5$ — положительное число ($5 > 0$), а $-250$ — отрицательное ($-250 < 0$), то $5$ находится правее на координатной прямой, чем $-250$. Следовательно, $5 > -250$.

Ответ: Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Правило сравнения двух отрицательных чисел

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль (абсолютная величина) которого меньше. Иными словами, то отрицательное число, которое на координатной прямой находится ближе к нулю, будет больше.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, например $a$ и $b$, нужно:

1. Найти их модули: $|a|$ и $|b|$.
2. Сравнить полученные модули.
3. Большим будет то отрицательное число, модуль которого оказался меньше. Если $|a| < |b|$, то $a > b$.

Например, сравним числа $-15$ и $-8$.
Найдем их модули: $|-15| = 15$ и $|-8| = 8$.
Сравним модули: $8 < 15$.
Поскольку модуль числа $-8$ меньше модуля числа $-15$, то число $-8$ больше числа $-15$.
Запись: $-8 > -15$.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

2) Сравните:

-3,3 и 0,3;

$- \frac{1}{6}$ и $- \frac{1}{7}$.

-3,3 и 0,3

Чтобы сравнить числа $-3,3$ и $0,3$, необходимо посмотреть на их знаки. Число $-3,3$ является отрицательным, а число $0,3$ — положительным.

Основное правило сравнения чисел гласит, что любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. На координатной прямой положительные числа располагаются правее нуля, а отрицательные — левее.

Следовательно, $0,3$ больше, чем $-3,3$. Запишем это в виде неравенства:

$-3,3 < 0,3$

Ответ: $-3,3 < 0,3$.

$-\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{7}$

Для сравнения двух отрицательных дробей, $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{7}$, необходимо сравнить их модули (абсолютные значения). Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$|\-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}$

$|\-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$

Теперь сравним положительные дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 7 — это их произведение: $6 \times 7 = 42$.

Приведем дроби к знаменателю 42:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}$

$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{6}{42}$

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{7}{42}$ и $\frac{6}{42}$. Так как числитель первой дроби больше числителя второй ($7 > 6$), то и сама дробь больше: $\frac{7}{42} > \frac{6}{42}$.

Таким образом, мы установили, что $\frac{1}{6} > \frac{1}{7}$.

Правило сравнения отрицательных чисел гласит: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Поскольку модуль числа $-\frac{1}{6}$ (равный $\frac{1}{6}$) больше модуля числа $-\frac{1}{7}$ (равного $\frac{1}{7}$), то само число $-\frac{1}{6}$ меньше, чем $-\frac{1}{7}$.

$-\frac{1}{6} < -\frac{1}{7}$

Ответ: $-\frac{1}{6} < -\frac{1}{7}$.